Квадрат

[Евва]

ABCD е квадрат и М е точка ,която лежи вътре в квадрата така ,че AM=1 ,BM=2 ,CM=3 .
Намерете мярката на [tex]\angle[/tex]АМВ .

[Гост]

za da izpolzvash Pitagorova teorema, treba da prekarash 2 usporedni pravi na stranite prez M

[Евва]

Не зная оригиналното решение .
В моето не използвам Питагорова теорема .

[KOPMOPAH]

Получих $135^\circ$.

[Гост]

naj-burzo e taka: rotacija za 90 okolo B, poluchavash chetiriugulnik sus strani 2,2,1,3 i prav ugul; namirash po Pitagor edinija diagonal i po Ptolemej-drugija

[Гост]

vsushtnost ne po Ptelemej, shtoto ne znaesh dali e vpisan; chrez lica mozhe

[Гост]

s analitichna geometrija na praktika e sushtoto kato purvija nachin

[Гост]

* osven che nakraja mozhe da se izpolzva skalarno proizvedenie na vektori za namiraneto na toja ugul

[Гост]

chetvurti nachin: 2 kosinusovi teoremi za uglite pri vurha B

[peyo]

Решение с Geogebra само с внимателно движение на точката B докато АB стане равно на BC.

kvadrat_12124321.png (1.09 MiB) Прегледано 558 пъти

https://www.geogebra.org/classic/axvztzcb

[KOPMOPAH]

Квадрат.png (11.06 KiB) Прегледано 531 пъти

Получих $135^\circ...$

...като завъртях квадрата около т.$B$ на $90^\circ$.

Зеленият триъгълник $\triangle MBM'$ е равнобедрен и правоъгълен, значи $MM'=2\sqrt 2$. От обратната Питагорова теорема синият триъгълник $\triangle MCM'$ със страни $1$, $2\sqrt 2$ и $3$ е правоъгълен, доколкото $$3^2=1^2+\left(2\sqrt 2\right)^2,$$значи $\measuredangle MM'C=90^\circ$.

В крайна сметка $\measuredangle AMB=\measuredangle BM'C=90^\circ+45^\circ=135^\circ$.

[Евва]

Интересно е какво ще се получи , ако т.М лежи вън от квадрата .

[peyo]

Интересно е какво ще се получи , ако т.М лежи вън от квадрата .

Лесно мога да проверя 360-315 = 45[tex]^\circ[/tex]

kvadrat_121243211.png (934.14 KiB) Прегледано 513 пъти

[Гост]

ponezhe kvadratat e opredelen do ednakvost, mozesh da si namerish kvot si iskash...mozesh li da namerish DM i OM, kudeto O e centarat na kvadrata?

[Евва]

Моята идея съвпада с 4 начин на Гост . Нека АВ=а и [tex]\angle[/tex]АВМ=[tex]\beta[/tex] .
[tex]\angle[/tex]AMB=[tex]\alpha[/tex]=?
([tex]\triangle[/tex]АВМ -cos T) 1=[tex]a^{2 }[/tex]+4-2.2a.cos[tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{ a^{2 }+3 }{4a}[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]MBC-cos T) 9=4+[tex]a^{2 }[/tex]-2.2a.cos(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{ a^{2 }-5 }{4a}[/tex] (2)

Скрит текст: покажи

Правим връзка м/у (1) и (2) .

[tex]\frac{ а^{4 }+6 а^{2 } +9}{16 а^{2 } }[/tex] +[tex]\frac{ а^{4 }-10 а^{2 }+25 }{16 а^{2 } }[/tex] =1

[tex]а^{4 }[/tex]-10[tex]а^{2 }[/tex]+17=0
Положителните корени на бикв. ур-е са [tex]а_{1 }[/tex]=[tex]\sqrt{5+ \sqrt{8} }[/tex] и [tex]а_{2 }[/tex]=[tex]\sqrt{5- \sqrt{8} }[/tex] .

1 случай [tex]а_{1 }[/tex]=[tex]\sqrt{5+ \sqrt{8} }[/tex] ,тогава АС=а[tex]\sqrt{2}[/tex]>3 [tex]\Rightarrow[/tex] т.М е вътрешна на ABCD
([tex]\triangle[/tex]АВМ) 5+[tex]\sqrt{8}[/tex]=1+4-2.1.2.cos[tex]\alpha[/tex]
cos[tex]\alpha[/tex]= -[tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]= 135[tex]^\circ[/tex]

2 случай [tex]а_{2 }[/tex]=[tex]\sqrt{5- \sqrt{8} }[/tex] ,тогава АС=а[tex]\sqrt{2}[/tex]<3 [tex]\Rightarrow[/tex] т.М е външна на ABCD
([tex]\triangle[/tex]ABM) 5-[tex]\sqrt{8}[/tex]=1+4-2.1.2.cos[tex]\alpha[/tex]
cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]