Намерете страните

[Евва]

Даден е [tex]\triangle[/tex]АВС с ъгъл [tex]\beta[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] и а+с=11 ,където а и с са страни на триъгълника ,като с>а и r=[tex]\frac{2}{ \sqrt{3} }[/tex] .
Намерете a,b,c .

[Гост]

3,7,8 ako nema tehnicheski greshki

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle[/tex]АВС с ъгъл [tex]\beta[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] и а+с=11 ,където а и с са страни на триъгълника ,като с>а и r=[tex]\frac{2}{ \sqrt{3} }[/tex] .
Намерете a,b,c .

Без заглавие - 2022-11-11T103803.130.png (210.04 KiB) Прегледано 2005 пъти

Нека точките $M,N,P$ са допирните точки на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.
Тогава е изпълнено:
[tex]MB = NB = x , NC = PC = a - x , AM = AP = c - x \Rightarrow AC = a + c - 2x = 11 - 2x[/tex]
[tex]OM \bot AB , ON \bot BC \Rightarrow[/tex]
Около четириъгълника $MBNO$ може да се опише окръжност [tex]\Rightarrow \angle MON = 180 ^\circ - \angle B \Leftrightarrow \angle MON = 120 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle MBN[/tex] е равностранен защото е равнобедрен и [tex]\angle B = 60 ^\circ \Rightarrow MN = x[/tex]
За равнобедрения [tex]\triangle MON[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]MN^{2 } = OM^{2 } + ON^{2 } - 2.OM.ON.\cos 120 ^\circ \Leftrightarrow x^{2 } = r ^{2 }+ r^{2 } + 2 r^{2 }. \frac{1}{2} \Leftrightarrow x^{2 } = 3 r^{2 } \Leftrightarrow x^{2 } = 3. \frac{4}{3} \Rightarrow x = 2[/tex]
Получаваме :$ AC = a + c - 4 = 11 - 4 = 7$
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AC^{2 } = AB^{2 } + BC^{2 } - 2.AB.BC.\cos 60 ^\circ \Leftrightarrow 7^{2 } = a^{2 } + c^{2 } - 2 a.c. \frac{1}{2} \Leftrightarrow 49 = (a + c)^{2 } - 3ac \Leftrightarrow[/tex]
[tex]49 = 121 - 3ac \Rightarrow ac = 24[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a + c = 11 \\ ac = 24 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a = 11 - c \\ c(11 - c) = 24 \Leftrightarrow c^{2 } - 11c + 24 = 0 \Rightarrow c_{1,2 } = \displaystyle\frac{11 \pm5 }{2} \end{array}[/tex]
Получи се :[tex]c_{1 } = 8 , a_{1 } = 3[/tex] и [tex]c_{2 } = 3 , a_{2 } = 8[/tex]
По условие [tex]c>a \Rightarrow c = 8 , a = 3[/tex]
$$ a = 3 , b = 7 , c = 8$$