Прогресии

[Гост]

Как да подходя?
1.Дадена е геометрична прогресия 1,4,16....намерете [tex]S_{7 }[/tex]
2.Намерете [tex]а_{6 }[/tex] и [tex]S_{8 }[/tex] на растяща геометрична прогресия,ако [tex]а_{3 }[/tex]= 9 и [tex]а_{5}[/tex]= 81
3.Намерете [tex]а_{101 }[/tex] и [tex]S_{40 }[/tex] на намаляваща аритметична прогресия,за която [tex]a_{5 }[/tex]+[tex]a_{9 }[/tex]=9 и [tex]а_{6}[/tex].[tex]a_{14 }[/tex]= 274.

[ammornil]

Как да подходя?
1.Дадена е геометрична прогресия 1,4,16....намерете [tex]S_{7 }[/tex]
2.Намерете [tex]а_{6 }[/tex] и [tex]S_{8 }[/tex] на растяща геометрична прогресия,ако [tex]а_{3 }[/tex]= 9 и [tex]а_{5}[/tex]= 81
3.Намерете [tex]а_{101 }[/tex] и [tex]S_{40 }[/tex] на намаляваща аритметична прогресия,за която [tex]a_{5 }[/tex]+[tex]a_{9 }[/tex]=9 и [tex]а_{6}[/tex].[tex]a_{14 }[/tex]= 274.

1.Дадена е геометрична прогресия 1,4,16....намерете [tex]S_{7 }[/tex]
[tex]\ddot{=} a_{1}=1; a_{2}=4, a_{3}=16, ..., a_{n}=a_{1}q^{n-1}[/tex]
[tex]q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{1}=4[/tex]
[tex]S_{n}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q} \Rightarrow S_{7}=1\frac{1-4^{7}}{1-4}=\frac{1-16384}{-3}=\frac{16383}{3}=5461[/tex]


2.Намерете [tex]а_{6 }[/tex] и [tex]S_{8 }[/tex] на растяща геометрична прогресия,ако [tex]а_{3 }=9[/tex] и [tex]а_{5}=81[/tex]
[tex]\ddot{=} a_{1}, a_{1}q, a_{1}q^{2}, ..., a_{1}q^{n-1}, q>1 (\text{растяща геом. прогресия})[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a_{3}=9 \\a_{5}=81 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}q^{2}=9 \\ a_{1}q^{4}=81\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}q^{2}=9 \\ \large{ \frac{a_{1}q^{4}}{a_{1}q^{2}}=\frac{81}{9}} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}.9=9 \\q^{2}=9 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=1 \\ q_{1,2}=\pm3 \end{array}[/tex]

[tex]\because q>1 \Rightarrow \begin{array}{|l}a_{1}=1 \\ q=3\end{array}[/tex]

[tex]a_{6}=a_{5}.q=81.3=243,[/tex]
[tex]S_{n}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q} \Rightarrow S_{8}=1\frac{1-3^{8}}{1-3}=\frac{-6560}{-2}=3280[/tex]


На трета задача нещо не е наред в условието, защото няма реални решения, или аз нещо бъркам...
3.Намерете [tex]а_{101 }[/tex] и [tex]S_{40 }[/tex] на намаляваща аритметична прогресия,за която [tex]a_{5 }[/tex]+[tex]a_{9 }[/tex]=9 и [tex]а_{6}[/tex].[tex]a_{14 }[/tex]= 274.
[tex]\doteqdot a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, ..., a_{1}+(n-1)d, d<0 (\text{намаляваща аритм. прогресия})[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a_{5}+a_{9}=9 \\ a_{6}.a_{14}=274\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}+4d+a_{1}+8d=9 \\ (a_{1}+5d)(a_{1}+13d)=274\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2a_{1}+12d=9 \\ (a_{1}+5d)(a_{1}+13d)=274\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=\frac{9-12d}{2} \\ (\frac{9-12d}{2}+5d)(\frac{9-12d}{2}+13d)=274\end{array} \Leftrightarrow[/tex]

Решаваме отделно второто уравнение за да намерим [tex]d[/tex]
[tex]\frac{9-12d+10d}{2}.\frac{9-12d+26d}{2}=274 \Leftrightarrow (9-2d)(9+14d)=4.274 \Leftrightarrow 81+126d-18d-28d^{2}-1096=0 \Leftrightarrow 28d^{2}-108d+1015=0[/tex]
[tex]D=(-54)^{2}-28.1015<0 \Rightarrow \nexists d \in R[/tex]