Уравнение

[Гост]

Решете уравненията:
а)[tex]\sqrt{x+1}[/tex]+1=x
б)[tex]\sqrt{x-5}[/tex]+[tex]\sqrt{2x-1}[/tex]=3
в)[tex]\sqrt{x-2}[/tex]+4=x
г)[tex]\sqrt{3x+7}[/tex]-[tex]\sqrt{x+1}[/tex]=2
Благодаря!

[ammornil]

Решете уравненията:
а)[tex]\sqrt{x+1}[/tex]+1=x
б)[tex]\sqrt{x-5}[/tex]+[tex]\sqrt{2x-1}[/tex]=3
в)[tex]\sqrt{x-2}[/tex]+4=x
г)[tex]\sqrt{3x+7}[/tex]-[tex]\sqrt{x+1}[/tex]=2
Благодаря!

Предлагам Ви решения на два от посочените примери, другите два са подобни на решените.
[tex]\huge{(а) \sqrt{x+1}+1=x }[/tex]
[tex]\text{ДМ: } x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \Rightarrow x \in [-1;+ \infty)[/tex]
[tex]\sqrt{x+1}=x-1 |()^{2} \Leftrightarrow x+1=(x-1)^{2} \Leftrightarrow x+1=x^{2}-2x+1 \Leftrightarrow x^{2}-3x=0 \Leftrightarrow x(x-3)=0 \begin{cases} x_{1} = 0 \in \text{ДМ} \\x_{2}=3 \in \text{ДМ} \end{cases}[/tex]
Проверка:
[tex]x=0 \rightarrow \sqrt{0+1}+1 \ne 0 \Rightarrow x=0[/tex] не е решение
[tex]x=3 \rightarrow \sqrt{3+1}+1 = 3 \Rightarrow x=3[/tex] е решение

[tex]\huge{ (г) \sqrt{3x+7} - \sqrt{x+1}=2}[/tex]
[tex]\text{ДМ: } \begin{array}{|l} 3x+7 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x \ge -\frac{7}{3} \\ x \ge -1 \end{array} \Rightarrow x \in [-1;+ \infty)[/tex]

(1 начин - без полагане)
[tex]\sqrt{3x+7} =2+ \sqrt{x+1} |()^{2} \Leftrightarrow 3x+7=2^{2}+2.2. \sqrt{x+1}+x+1 \Leftrightarrow 3x+7-x-5=4\sqrt{x+1} \Leftrightarrow 2x+2=4\sqrt{x+1} |:2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x+1=2\sqrt{x+1} |()^{2} \Leftrightarrow x^{2}+2x+1=4(x+1) \Leftrightarrow x^{2}+2x+1-4x-4=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^{2}-2x-3=0 \rightarrow D=(-1)^{2}-1.(-3)=4 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{1 \pm 2}{1} \begin{cases} x_{1}=-1 \in \text{ДМ} \\ x_{2}=3 \in \text{ДМ} \end{cases}[/tex]

Проверка:
[tex]x=-1 \rightarrow \sqrt{3.(-1)+7} - \sqrt{-1+1}=2 \Rightarrow x=-1[/tex] е решение
[tex]x=3 \rightarrow \sqrt{3.3+7} - \sqrt{3+1}=2 \Rightarrow x=3[/tex] е решение

(2 начин - с полагане)
Полагаме [tex]u=x+1 \Rightarrow x=u-1[/tex], [tex]3x+7=3x+3+4=3(x+1)+4=3u+4[/tex]
[tex]\sqrt{3u+4} - \sqrt{u}=2 \Leftrightarrow \sqrt{3u+4}=2+ \sqrt{u} |()^{2} \Leftrightarrow 3u+\cancel{4}=\cancel{2^{2}}+2.2.\sqrt{u}+u \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2u=4\sqrt{u} \Leftrightarrow u=2\sqrt{u} |()^{2} \Leftrightarrow u^{2}=4u \Leftrightarrow u^{2}-4u=0 \Leftrightarrow u(u-4)=0 \begin{cases} u_{1}=0 \rightarrow x_{1}=0-1=-1 \in \text{ДМ} \\ u_{2}=4 \rightarrow x_{2}=4-1=3 \in \text{ДМ} \end{cases}[/tex]

Проверка:
[tex]x=-1 \rightarrow \sqrt{3.(-1)+7} - \sqrt{-1+1}=2 \Rightarrow x=-1[/tex] е решение
[tex]x=3 \rightarrow \sqrt{3.3+7} - \sqrt{3+1}=2 \Rightarrow x=3[/tex] е решение

Скрит текст: покажи

(б) [tex]x-5=u \Rightarrow x=u+5, \phantom{QQQ} 2x-1=2x-10+9=2(x-5)+9=2u+9[/tex]