Комбинирана задача с аритметична и геометрична прогресия

[Гост]

Броят на братовчедите на Ани, Боряна и Велина, взети в този ред, образува аритметична прогресия, а броят на братовчедите на Ани, Велина и Галя, взети в този ред, образува геометрична прогресия. Ако сборът на братовчедите на Ани и Галя е 10, а сборът на братовчедите на Боряна и Велина е 7, намерете коя от тях по колко братовчеди има.

[ammornil]

Броят на братовчедите на Ани, Боряна и Велина, взети в този ред, образува аритметична прогресия, а броят на братовчедите на Ани, Велина и Галя, взети в този ред, образува геометрична прогресия. Ако сборът на братовчедите на Ани и Галя е 10, а сборът на братовчедите на Боряна и Велина е 7, намерете коя от тях по колко братовчеди има.

Проблемът би бил по-добре дефиниран, ако знаехме дали аритметичната прогресия е растяща или намаляваща.

Нека Ани има [tex]x[/tex] братовчеди, тогава Боряна има [tex]x+d[/tex] братовчеди, а Велина има [tex]x+2d[/tex] братовчеди.
От друга страна Ани има [tex]x[/tex] братовчеди, Велина има [tex]xq[/tex] братовчеди, Галя има [tex]xq^{2}[/tex] братовчеди.
Знаем също, че [tex]x+2d=xq[/tex], [tex]x+xq^{2}=10[/tex] и [tex]x+d+x+2d=7[/tex].
Всички [tex]x, x+d, x+2d, xq, xq^{2}[/tex] трябва да са естествени числа. [tex]x \in N, d \in Z, q \in Z^{+}_{/\{0;1\}}[/tex].

[tex]\begin{array}{|l} x+2d=xq \\ x+xq^{2}=10 \\ x+d+x+2d=7 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x=\large{\frac{7-3d}{2}} \\ x(q-1)=2d \\ x(1+q^{2})=10 \end{array}[/tex]...

Скрит текст: покажи

Проблемът може също да се разгледа чрез Диофантови равенства:

[tex]2x+3d=7 \Rightarrow x = \frac{7-3d}{2}=\frac{6+1-2d-d}{2}=\frac{6}{2}-\frac{2d}{2}+\frac{1-d}{2} \Rightarrow x=3-d+\frac{1-d}{2}, \because x \in N \Rightarrow \frac{1-d}{2} \in Z[/tex]
[tex]t=\frac{1-d}{2} \in Z \Rightarrow 2t=1-d \Rightarrow d=1-2t \Rightarrow x=3-(1-2t)+\frac{1-(1-2t)}{2}=3-1+2t+t=2+3t \rightarrow[/tex] $$ \begin{array}{|l} d=1-2t \\ x= 2+3t \end{array} $$

[tex]x+xq^{2}=10 \Rightarrow q=\sqrt{\frac{10-x}{x}}=\sqrt{\frac{10}{2+3t}-1}[/tex]

$$ \begin{array}{|l} d=1-2t \\ x= 2+3t \\ q =\sqrt{\frac{10}{2+3t}-1} \end{array} $$

Остава да намерим тези стойности на [tex]t[/tex] за които числата [tex]x, x+d, x+2d, xq, xq^{2}[/tex] имат смисъл.
[tex]t<0 \rightarrow 2+3t < 0 \Rightarrow \nexists x \in N[/tex]
[tex]t=0 \rightarrow q = 2, d = 1, x = 2 \Rightarrow[/tex] Ани има [tex]x=2[/tex] братовчеди, тогава Боряна има [tex]x+d=3[/tex] братовчеди, Велина има [tex]x+2d=4[/tex] братовчеди, Галя има [tex]xq^{2}=8[/tex] братовчеди.
[tex]t=1 \rightarrow q = 1 \notin Dz[/tex]
[tex]t=2 \rightarrow q \notin Z[/tex]
[tex]t>2 \rightarrow \frac{10}{2+3t}-1 < 0 \Rightarrow \nexists \sqrt{\frac{10}{2+3t}-1} \in R[/tex]

единствено решение
[tex]t=0 \rightarrow q = 2, d = 1, x = 2 \Rightarrow[/tex] Ани има [tex]x=2[/tex] братовчеди, тогава Боряна има [tex]x+d=3[/tex] братовчеди, Велина има [tex]x+2d=4[/tex] братовчеди, Галя има [tex]xq^{2}=8[/tex] братовчеди.