Задача от прогресия

[Гост]

Числата 4, x-2, y-1 образуват геометрична прогресия, а числата 6, x-1, y-2 в този ред образуват аритметична прогресия. Намерете x и y за тези числа.

[ammornil]

Числата 4, x-2, y-1 образуват геометрична прогресия, а числата 6, x-1, y-2 в този ред образуват аритметична прогресия. Намерете x и y за тези числа.

Скрит текст: покажи

Аритметична прогресия:
$$\div a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, ..., a_{1}+(n-1)d, ... \ \begin{cases} a_{1} - \text{първи член на прогресията} \\ d - \text{разлика на прогресията}, d \ne 0 \\ n - \text{последен или пореден номер на прогресията}, n \in N \end{cases}$$
Всеки некраен елемент от прогресията е средно аритметичен на съседните си: $$a_{k}=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}, 1 < k < n$$
Всеки два члена на прогресията, равно отдалечени от краищата и, имат една и съща сума. Ако прогресията има [tex]n[/tex] члена то:
[tex]a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=...=a_{k}+a_{n-k+1}[/tex]
Сумата от първите [tex]n[/tex] члена се определя като $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}.n,\ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}.n$$

Геометрична прогресия:
$$\ddot{-} a_{1}, a_{1}q, a_{1}q^{2}, ..., a_{1}q^{n-1}, ... \ \begin{cases} a_{1} - \text{първи член на прогресията} \\ q - \text{частно на прогресията}, q \in R _{/\{0;1\}} \\ n - \text{последен или пореден номер на прогресията}, n \in N \end{cases}$$
Всеки некраен елемент от прогресията е средно геометричен на съседните си: $$a_{k}^{2}=\frac{a_{k-1}.a_{k+1}}{2}, 1 < k < n$$
Всеки два члена на прогресията, равно отдалечени от краищата и, имат едно и също произведение. Ако прогресията има [tex]n[/tex] члена то:
[tex]a_{1}.a_{n}=a_{2}.a_{n-1}=a_{3}.a_{n-2}=...=a_{k}.a_{n-k+1}[/tex]
Сумата от първите [tex]n[/tex] члена се определя като $$S_{n}=\frac{a_{n}q-a_{n}}{q-1}.n,\ S_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q}.a_{1}$$

[tex]\ddot{-}4, x-2,y-1 \Rightarrow (x-2)^{2}=4(y-1)[/tex]
[tex]\div 6, x-1, y-2 \Rightarrow 2(x-1)=6+(y-2)[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (x-2)^{2}=4(y-1) \\ 2(x-1)=y+4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (x-2)^{2}=4(y-1) \\ y=2x-6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (x-2)^{2}=4(2x-6-1) \\ y=2x-6 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2}-4x+4 = 8x-28 \\y=2x-6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2}-4x+4-8x+28 =0 \\ y=2x-6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2}-12x+32=0 \\ y=2x-6 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l}x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^{2}-1.32}}{1} \\ y=2x-6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}x_{1,2}=6\pm2 \\ y=2x-6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{1}=4 \\ y_{1}=2 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x_{2}=8 \\ y_{2}=10 \end{array}[/tex]