триъгълник

[Гост]

Нека MN е средна отсечка в трАВС с основа 12cm и височина СН =8cm. Намерете лицето на МNC.
(намерих, че MN = 6cm)
A) 6 cm² Б) 12 cm2 B) 24 cm2 Г) 48 cm²

В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 75° височината към хипотенузата е 2,5 cm. Намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

[mail_dinko]

Зад. 1
Приемам, че е равноб. триъгълник - вижте си условието.
[tex]MN = \frac {AB}{2} = 6[/tex]
Разгл. подобни триъгълници
[tex]\triangle ABC ~ \triangle MNC[/tex]
[tex]1) \angle C= \angle C[/tex]
[tex]2) (MN|| AB) \cap AC : \angle BAC = \angle NMC[/tex]
Това са двойка съответни ъгли
Подобие по 1ви признак
[tex]\frac {AB}{MN}=\frac {AC}{MC}=\frac {BC}{CN}= k =2[/tex]
[tex]\frac {S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle MNC}}= k^2=4\Rightarrow S_{\triangle MNC} =\frac {S_{\triangle ABC}}{4}=\frac {\frac {AB.CH}{2}}{4}= \frac {12.8}{8}=12[/tex]


Зад. 2
При стандартни означения [tex]\angle C = 90^\circ; \angle B = 75^\circ ; \angle A = 15 ^\circ[/tex]
[tex]CH=h_c : H \in AB[/tex]
В триъгълник CHB
[tex]cos \angle HCB = \frac {CH}{CB}\Leftrightarrow cos 15 ^\circ = cos \frac {30^\circ}{2} = \sqrt {\frac {1+cos 30^\circ}{2}}= \frac {\sqrt {2+ \sqrt {3}}}{2}[/tex]
[tex]\frac {2,5}{CB}= \frac {\sqrt {2+ \sqrt {3}}}{2} \Rightarrow CB = \frac {5}{\sqrt {2+ \sqrt {3}}}[/tex]
В триъгълник AHC
[tex]sin \angle CAH = \frac {CH}{CA}\Leftrightarrow sin 15 ^\circ = sin \frac {30^\circ}{2} = \sqrt {\frac {1-cos 30^\circ}{2}}= \frac {\sqrt {2- \sqrt {3}}}{2}[/tex]
[tex]\frac {2,5}{CA}= \frac {\sqrt {2- \sqrt {3}}}{2} \Rightarrow CA = \frac {5}{\sqrt {2- \sqrt {3}}}[/tex]
[tex]AB=\sqrt {CA^2 + CB^2}=\sqrt {\frac {25}{2- \sqrt {3}} + \frac {25}{2 + \sqrt {3}}}=\sqrt {\frac {50+75 \sqrt{3}+50-75 \sqrt {3}}{(2- \sqrt {3})(2+\sqrt {3})}}=10[/tex]

ИЛИ

[tex]AC.BC = h_c . AB \Rightarrow AB= \frac {25}{2,5}=10 \Rightarrow R = 5[/tex]

[Гост]

Зад. 1
Приемам, че е равноб. триъгълник

не е нужно

[nikola.topalov]

Втора задача няма нужда от цялата тази тригонометрия. От седми клас ни е познато, че в правоъгълен триъгълник с остър ъгъл [tex]75^\circ[/tex] височината към хипотенузата му е четири пъти по-малка от хипотенузата. Нататък за радиуса на окръжността е ясно.

[mail_dinko]

На мен не ми е познато и за пръв път го чувам.
Но благодарение на вас получих нови знания

[S.B.]

Нека MN е средна отсечка в трАВС с основа 12cm и височина СН =8cm. Намерете лицето на МNC.
(намерих, че MN = 6cm)
A) 6 cm² Б) 12 cm2 B) 24 cm2 Г) 48 cm²

В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 75° височината към хипотенузата е 2,5 cm. Намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

Без заглавие - 2023-03-11T214024.217.png (245.6 KiB) Прегледано 2052 пъти

И още един поглед върху задачата:
1)
$MN$ е средна отсечка [tex]\Rightarrow MN || AB,MN = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6[/tex]
$M$ е среда на $AC$ ,$MN || AB$ и [tex]MN \cap CH = P \Rightarrow CP = PH[/tex] ( по теорема)
[tex]\Rightarrow CP = \frac{CH}{2} = \frac{8}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow CP = 4[/tex]
[tex]S_{MNC } = \frac{MN.CP}{2} = \frac{6.4}{2} = 12[/tex]

2)
Построявам $CM$ - медиана и същевременно радиус на описаната окръжност [tex]\Rightarrow AM = CM = BM[/tex]
[tex]\angle CMB = 30 ^\circ[/tex] ( външен за [tex]\triangle BMC)[/tex]
За правоъгълния [tex]\triangle HMC[/tex] ,катета $CH$ лежи срещу ъгъл [tex]30 ^\circ \Rightarrow CM = 2.CH = 2.2,5 = 5[/tex]
$$\Rightarrow R = CM = 5$$

[S.B.]

На мен не ми е познато и за пръв път го чувам.
Но благодарение на вас получих нови знания

Това е така,но не е теорема.За всяка задача в която се използва трябва да се доказва.