М е средата на АВ, AC=8cm, BC = 7 cm и CM = 6,5 cm. Намерете

[Гост]

B трАВС точката М е средата на АВ, AC=8cm, BC = 7 cm и CM = 6,5 cm. Намерете ъгъл АСВ.

[ammornil]

B трАВС точката М е средата на АВ, AC=8cm, BC = 7 cm и CM = 6,5 cm. Намерете ъгъл АСВ.

230311_001.png (7.83 KiB) Прегледано 2135 пъти

[tex]m_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot a^{2}+2\cdot b^{2}-c^{2}}[/tex]

[tex]4\cdot m^{2}_{c}=2\cdot a^{2}+2\cdot b^{2}-c^{2} \Leftrightarrow c^{2}=2\cdot a^{2}+2\cdot b^{2}-4\cdot m^{2}_{c}[/tex]

[tex]c^{2}=2\cdot 7^{2}+2\cdot 8^{2}-4\cdot \left(\frac{13}{2}\right)^{2}=2\cdot 49+2\cdot 64-4\cdot \frac{169}{4}=98+128-169=57 \Leftrightarrow AB=c=\sqrt{57}[/tex]

[tex]\cos{\angle{ACB}}=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{8^{2}+7^{2}-(\sqrt{57})^{2}}{2\cdot 8\cdot 7}=\frac{56}{2\cdot 8\cdot 7}=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\angle{ACB}=\arccos{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{\pi}{6}\>[rad][/tex]

[S.B.]

B трАВС точката М е средата на АВ, AC=8cm, BC = 7 cm и CM = 6,5 cm. Намерете ъгъл АСВ.

Без заглавие - 2023-03-11T212304.476.png (242 KiB) Прегледано 2124 пъти

Още един поглед върху задачата
Видиш ли медиана,продължи я докато стане двойна! (старо златно правило)
Продължавам [tex]CM[/tex] до точка [tex]C_{1 }[/tex] така,че [tex]C C_{1 } = 2.CM = 13[/tex]
[tex]A C_{1 }BC[/tex] е успоредник (защото всеки четириъгълник на който диагоналите се разполовяват е успоредник)
За [tex]\triangle A C_{1 }C[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \angle CA C_{1 } = \frac{ C C_{1 } ^{2 } - AC^{2 } - A C_{1 } ^{2 } }{-2.AC.A C_{1 } } = \frac{ 13^{2 } - 8^{2 } - 7^{2 } }{-2.8.7} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \angle CA C_{1 } = 120 ^\circ \Rightarrow \angle ACB = 60 ^\circ = \frac{ \pi }{3}[/tex]

[ammornil]

Сега видях, че грешно съм пресметнал аркускосинуса. $$ \angle{ACB}=\arccos{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{\pi}{3}\>[rad] $$