Намерете лицето на АВС със страни АС = 4, BC = 6 и медиана

[Гост]

Намерете лицето на ∆АВС със страни АС = 4, BC = 6 и медиана CM = 2[tex]\sqrt{2}[/tex].

[ammornil]

$$ m_{C}^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}) \rightarrow \text{намираме страната } AB=c$$
$$ p=\frac{a+b+c}{2} \rightarrow S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$

Скрит текст: покажи

[tex]m_{C}^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}) \Rightarrow c^{2}=2a^{2}+2b^{2}-4m_{C}^{2} \Leftrightarrow c^{2}=2\cdot 6^{2} +2\cdot 4^{2}-4\cdot (2\sqrt{2})^{2}=72+32-32=72 \Rightarrow c=6\sqrt{2}\>[cm][/tex]

[tex]p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+6+6\sqrt{2}}{2}=5+3\sqrt{2}\>[cm][/tex]

[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(5+3\sqrt{2})(5+3\sqrt{2}-4)(5+3\sqrt{2}-6)(5+3\sqrt{2}-6\sqrt{2})}=\sqrt{\underline{(5+3\sqrt{2})}(3\sqrt{2}+1)(3\sqrt{2}-1)\underline{(5-3\sqrt{2})}}[/tex]

[tex]S=\sqrt{[5^{2}-(3\sqrt{2})^{2}]\cdot [(3\sqrt{2})^{2}-1^{2}]}=\sqrt{(25-18)\cdot (18-1)}=\sqrt{7\cdot 17}=\sqrt{119}\>[cm^{2}][/tex]