Лице на правоъгълен триъгълник

[Гост]

Бихте ли ми помогнали за следната задача?

В правоъгълен [tex]\triangle ABC ( \angle C = 90 ^\circ)[/tex] е вписана окръжност с радиус $r = 2$, която се допира до страните $AB,BC,AC$ съответно в точки [tex]C_{1 } , A_{1 } , B_{1 }[/tex].
Ако лицето на [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] е равно на $4,8$ [tex]cm^{2 }[/tex] да се определи лицето на [tex]\triangle ABC[/tex]

[Евва]

Нека [tex]S_{ABC }[/tex]= S=?
Започваме с формулите за правоъгълен тр-к :
r=[tex]\frac{a+b-c}{2}[/tex] ; 2=[tex]\frac{a+b-c}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] c=a+b-4 (1)

[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{a+b+c}{2}[/tex].r ; S=[tex]\frac{a+b+a+b-4}{2}[/tex].2 [tex]\Rightarrow[/tex] a+b =[tex]\frac{S+4}{2}[/tex] (2)
[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{ab}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ab =2S (3)

[tex]S_{AC_1B_1 }[/tex] +[tex]S_{C_1BA_1 }+ S_{B_1A_1C }[/tex] +[tex]S_{A_1B_1C_1 }[/tex] = [tex]S_{ABC }[/tex]

[tex]\frac{ (b-r)^{2 }sin \alpha }{2}[/tex] +[tex]\frac{ (a-r)^{2 }sin \beta }{2}[/tex] +[tex]\frac{ r^{2 } }{2}[/tex] +4,8 =S

S=[tex]\frac{ (b-2)^{2 }a }{2c}[/tex] +[tex]\frac{ (a-2)^{2 }b }{2c}[/tex] +[tex]\frac{4}{2}[/tex] +4,8

S -6,8 =[tex]\frac{a b^{2 }-4ab+4a+ a^{2 }b-4ab+4b }{2c}[/tex] ползваме (1)

2(a+b-4)(S- 6,8) =ab(a+b) -8ab +4(a+b)

Скрит текст: покажи

Ползваме (2) и (3)

2([tex]\frac{S+4}{2}[/tex] -4)(S-6,8) =2S.[tex]\frac{S+4}{2}[/tex] -8.2S +4.[tex]\frac{S+4}{2}[/tex]

(S-4)(S-6,8) =[tex]S^{2 }[/tex] +4S-16S +2S +8
Решава се лесно и получаваме S= 24 [tex]см.^{2 }[/tex]

[S.B.]

Бихте ли ми помогнали за следната задача?

В правоъгълен [tex]\triangle ABC ( \angle C = 90 ^\circ)[/tex] е вписана окръжност с радиус $r = 2$, която се допира до страните $AB,BC,AC$ съответно в точки [tex]C_{1 } , A_{1 } , B_{1 }[/tex].
Ако лицето на [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] е равно на $4,8$ [tex]cm^{2 }[/tex] да се определи лицето на [tex]\triangle ABC[/tex]

Без заглавие - 2023-03-30T104305.588.png (268.23 KiB) Прегледано 2087 пъти

Още един поглед върху задачата

Нека:
$AB = c , AC = b ,BC = a $
[tex]\angle A = \alpha , \angle B = \beta[/tex]

Около четириъгълниците [tex]A C_{1 }O B_{1 }[/tex] и [tex]B C_{1 }O A_{1 }[/tex] може да се опише окръжност (ЗАЩО?)
[tex]\Rightarrow \angle C_{1 }O B_{1 } = 180 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\angle C_{1 }O A_{1 } = 180 ^\circ - \beta[/tex]

[tex]S_{ A_{1 } B_{1 } C_{1 } } = S_{O B_{1 } C_{1 } } + S_{O C_{1 } A_{1 } } + S_{O A_{1 } B_{1 } } = \frac{ r^{2 } }{2}\sin(180 ^\circ- \alpha) + \frac{ r^{2 } }{2}\sin(180 ^\circ - \beta ) + \frac{ r^{2 } }{2} = 4,8[/tex]
[tex]\Rightarrow 2\sin \alpha + 2\sin \beta + 2 = 4,8 \Leftrightarrow \sin \alpha + \sin \beta + 1 = 2,4[/tex]
$$\Rightarrow\sin \alpha + \sin \beta = 1,4$$
[tex]\sin \alpha = \frac{a}{c} , \sin \beta = \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1,4[/tex]
За периметъра на [tex]\triangle ABC[/tex] знаем ,че [tex]a+b+c = 2c + 2r \Leftrightarrow a+b+c =2c +4 \Rightarrow a+b-c = 4[/tex]
От Питагорова теорема знаем,че [tex]a^{2 } + b^{2 } = c^{2 }[/tex]

Съставям следната система:

[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{a}{c} + \displaystyle \frac{b}{c} = 1,4 \\ a + b - c = 4\\ a^{2 } + b^{2 } = c^{2 } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + b = 1,4c\\ a + b = c + 4\\ a^{2 }+ b^{2 } = c^{2 } \end{array}[/tex]
От първото и второто уравнение получавам: $$c = 10$$
Тогава използвам,че :
$$a^{2 }+ b^{2 } = (a + b)^{2 } - 2ab $$
и получавам:
[tex]\begin{array}{|l} a +b =1, 4c \\ (a + b)^{2 }- 2ab = c^{2 } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + b = 14 \\ 2ab = 14^{2 }- 10^{2 } \end{array} \Rightarrow ab = 48[/tex]

[tex]\begin{cases} ab = 48 \\ S_{ABC } = \displaystyle \frac{ab}{2} \end{cases} \Leftrightarrow S_{ABC } = \displaystyle \frac{48}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABC } = 24 $$

[Гост]

Благодаря!