триъгълници

[Гост]

В [tex]\triangle[/tex]АВС центърът О на вписаната окръжност е свързан с върховете на триъгълника. Ако лицата на [tex]\triangle[/tex]АВО, [tex]\triangle[/tex]ВСО, [tex]\triangle[/tex]САО са съответно 80[tex]см^{2 }[/tex], 60[tex]см^{2 }[/tex], 28[tex]см^{2 }[/tex] , то намерете:
а) страните на триъгълника
б) радиуса на вписаната и радиуса на описаната окръжноси

[stefanb]

IMG202304.jpg (89.38 KiB) Прегледано 2047 пъти

[S.B.]

В [tex]\triangle[/tex]АВС центърът О на вписаната окръжност е свързан с върховете на триъгълника. Ако лицата на [tex]\triangle[/tex]АВО, [tex]\triangle[/tex]ВСО, [tex]\triangle[/tex]САО са съответно 80[tex]см^{2 }[/tex], 60[tex]см^{2 }[/tex], 28[tex]см^{2 }[/tex] , то намерете:
а) страните на триъгълника
б) радиуса на вписаната и радиуса на описаната окръжноси

Без заглавие - 2023-04-25T203627.472.png (214.67 KiB) Прегледано 2045 пъти

Нека $AB = c , BC = a , AC = b$,
[tex]OM \bot AB , ON \bot BC ,OP \bot AC ,OM = ON = OP =r[/tex]

[tex]S_{AOB } = 80 \Leftrightarrow \frac{c.r}{2} = 80 \Rightarrow c = \frac{160}{r}[/tex]

[tex]S_{BOC } = 60 \Leftrightarrow \frac{a.r}{2} = 60 \Rightarrow a = \frac{120}{r}[/tex]

[tex]S_{AOC } = 28 \Leftrightarrow \frac{b.r}{2} = 28 \Rightarrow b = \frac{56}{r}[/tex]

[tex]S_{ABC } = 80 + 60 + 28 \Rightarrow S_{ABC } = 168[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] ще приложа Хероновата формула:

[tex]p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{168}{r}[/tex]

[tex]p - a = \frac{168}{r} - \frac{120}{r} = \frac{48}{r}[/tex]

[tex]p - b = \frac{168}{r} - \frac{56}{r} = \frac{112}{r}[/tex]

[tex]p - c = \frac{168}{r} - \frac{160}{r} = \frac{8}{r}[/tex]

[tex]168 = \sqrt{ \frac{168}{r}. \frac{48}{r}. \frac{112}{r}. \frac{8}{r} } \Leftrightarrow 168 = \sqrt{ \frac{ 8^{4 }. 3^{2 }. 7^{2 }. 2^{2 } }{ r^{4 } } } \Leftrightarrow 168 = \frac{64.42}{ r^{2 } } \Leftrightarrow 4 r^{2 } = 64 \Rightarrow r^{2 } = 16 \Rightarrow r = \pm 4[/tex]
[tex]r>0 \Rightarrow r = 4[/tex]

[tex]a = \frac{120}{r} \Rightarrow a = 30[/tex]

[tex]b = \frac{56}{r} \Rightarrow b = 14[/tex]

[tex]c = \frac{160}{r} \Rightarrow c = 40[/tex]
$$\Rightarrow AB = 40,BC = 30 ,AC = 14 $$
[tex]S_{ABC } = \frac{abc}{4R} \Leftrightarrow 168 = \frac{40.30.14}{4R} \Rightarrow R = 25[/tex]
$$\Rightarrow r = 4;R = 25$$