Триъгълници

[Гост]

.

[nikola.topalov]

Търсим дължината на страната [tex]BC[/tex], при условие че [tex]AC=8[/tex], [tex]AB=7[/tex] и [tex]\measuredangle ACB=60^{\circ}[/tex] и триъгълникът е остроъгълен. Нека [tex]BC=x[/tex]. От косинусовата теорема имаме, че $$49=64+x^2-8x\Rightarrow x^2-8x+15=0$$ И така получаваме [tex]x_1=3[/tex] и [tex]x_2=5[/tex]. И в двата случая съществува [tex]\triangle ABC[/tex]. По условие обаче той е остроъгълен. За да проверим за коя стойност на [tex]BC[/tex] е изпълнено това взимаме страната с най-голяма дължина и правим косинусова теорема с цел да видим дали ъгълът срещу нея е остър или тъп. За [tex]x=3[/tex] имаме $$64=9+49-42\cos\measuredangle ABC\Rightarrow \cos\measuredangle ABC<0$$ откъдето [tex]\measuredangle ABC>90^{\circ}[/tex], значи в този случай триъгълникът е тъпоъгълен. Аналогично проверяваме и за [tex]BC=5[/tex] и виждаме, че тогава [tex]\cos\measuredangle ABC>0[/tex], следователно триъгълникът е остроъгълен. Окончателно [tex]BC=5[/tex].