Прогресии

[Гост]

Тази задача е от пробна матура. Не разбирам каква е връзката. Може ли някой да ми помогне?

[grav]

... Не разбирам каква е връзката. ...

Връзката между кое и кое?

[ammornil]

Връзката е да се запише даденото чрез формулите за всяка от прогрессите и да се направи приравняване на това, за което е казано че е еднакво (равно).

Скрит текст: покажи

Аритметична прогресия:
$$\div a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, ..., a_{1}+(n-1)d, ... \ \begin{cases} a_{1} - \text{първи член на прогресията} \\ d - \text{разлика на прогресията}, d \ne 0 \\ n - \text{последен или пореден номер на прогресията}, n \in N \end{cases}$$
Всеки некраен елемент от прогресията е средно аритметичен на съседните си: $$a_{k}=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}, 1 < k < n$$
Всеки два члена на прогресията, равно отдалечени от краищата и, имат една и съща сума. Ако прогресията има [tex]n[/tex] члена то:
[tex]a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=...=a_{k}+a_{n-k+1}[/tex]
Сумата от първите [tex]n[/tex] члена се определя като $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}.n,\ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}.n$$

Геометрична прогресия:
$$\ddot{-} a_{1}, a_{1}q, a_{1}q^{2}, ..., a_{1}q^{n-1}, ... \ \begin{cases} a_{1} - \text{първи член на прогресията} \\ q - \text{частно на прогресията}, q \in R _{/\{0;1\}} \\ n - \text{последен или пореден номер на прогресията}, n \in N \end{cases}$$
Всеки некраен елемент от прогресията е средно геометричен на съседните си: $$a_{k}^{2}=\frac{a_{k-1}.a_{k+1}}{2}, 1 < k < n$$
Всеки два члена на прогресията, равно отдалечени от краищата и, имат едно и също произведение. Ако прогресията има [tex]n[/tex] члена то:
[tex]a_{1}.a_{n}=a_{2}.a_{n-1}=a_{3}.a_{n-2}=...=a_{k}.a_{n-k+1}[/tex]
Сумата от първите [tex]n[/tex] члена се определя като $$ S_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q}.a_{1}$$

[Гост]

... Не разбирам каква е връзката. ...

Връзката между кое и кое?

Между двете прогресии

[S.B.]

[tex]\frac{..}{.. } a_{1 } , a_{2 }, a_{3 }....... \Leftrightarrow \frac{..}{..} a,aq, aq^{2 } , aq^{3 } ..... \sum_{i=1}^{5 } a_{i } = 62[/tex]
[tex]\div b_{1 }, b_{2 } , b_{3 } ......[/tex]

[tex]a_{5 } = b_{1 } \Rightarrow b_{1 }= a q^{4 }[/tex]
[tex]a_{8 } = b_{2 } \Rightarrow b_{2 } = a q^{7 }[/tex]
[tex]a_{11 } = b_{10 } \Rightarrow b_{10 } = a q^{10 }[/tex]

Ще използвам следното свойство на аритметичната прогресия:
$$a_{1 } + a_{n } = a_{2 } + a_{n -1 } $$

[tex]b_{1 } + b_{10 } = b_{2 } + b_{9 } \Leftrightarrow aq^{4 } + a q^{10 } = aq^{7 } + b_{9 }[/tex]

[tex]b_{9 } = b_{1 } + 8d \Leftrightarrow b_{9 } = a q^{4 } + 8d[/tex]

[tex]b_{2 } - b_{1 } = d \Leftrightarrow a q^{7 } - a q^{4 } = d \Rightarrow d = aq^{4 }( q^{3 } - 1)[/tex]

[tex]b_{9 } = a q^{4 } + 8d \Leftrightarrow b_{9 } = aq^{4 } + 8aq^{4 }( q^{3 } - 1) \Leftrightarrow b_{9 } = aq^{4 }(1 + 8 q^{3 }- 8) \Rightarrow b_{9 } = aq^{4 }( 8 q^{3 } - 7)[/tex]

[tex]b_{1 } + b_{10 } = b_{2 } + b_{9 } \Leftrightarrow a q^{4 } + a q^{10 } = aq^{7 } + aq^{4 }(8q - 7) \Leftrightarrow a q^{4 }(1 + q^{6 }) = aq^{4 }(9 q^{3 } - 7)[/tex]

[tex]aq^{4 } \ne 0 \Rightarrow 1 + q^{6 } = 9q^{3 } - 7 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]q^{6 } - 9 q^{3 }+ 8 = 0[/tex]

Полагам [tex]q^{3 } = t \ne 1[/tex]

[tex]t^{2 } - 9t + 8 = 0 , t_{1 } = 8, t_{1 } = 1[/tex] - не е решение [tex]\Rightarrow t = 8[/tex]

$$q^{3 } = 8 \Rightarrow q = 2$$
[tex]\sum_{i=1}^{5 } a_{i } = 62 \Leftrightarrow a \frac{ q^{5 } - 1 }{q - 1} = 62 \Leftrightarrow a.31 = 62[/tex]
$$\Rightarrow a = 2$$
$$\sum_{i = 1}^{5 } b_{i } = \frac{ b_{1 } + b_{5 } }{2}.5 $$
[tex]b_{1 } = aq^{4 } = 2. 2^{4 } \Rightarrow b_{1 } = 2^{5 }[/tex]
[tex]d = aq^{4 }( q^{3 } - 1) \Leftrightarrow d = 7. 2^{5 }[/tex]
[tex]b_{5 } = b_{1 } + 4d \Leftrightarrow b_{5 } = 2^{5 } + 4.7. 2^{5 } \Leftrightarrow b_{5 } = 2^{5 }(1 + 28) \Rightarrow b_{5 } = 29.2^{5 }[/tex]
[tex]\frac{ b_{1 } + b_{5 } }{2}. 5 = \frac{ 2^{5 } + 29. 2^{5 } }{2}.5 = \frac{ 2^{5 }(1 + 29) }{2}.5 = 15.5. 2^{5 } = 75. 2^{5 } = 75.32 = 2400[/tex]
$$\sum_{i = 1}^{5 } b_{i } = 2400$$