Две геометрични задачки

[skidrow]

Здравейте! Имам малко проблеми относно следните 2 задачки:

1. Около окръжност е описан правоъгълен трапец с основи 12см и 6 см. Да се намери синусът на тъпия ъгъл на трапеца.

2. В окръжност с радиус R е вписан правоъгълник, ъгълът между диагоналите на който е \varphi . Да се намери периметърът на правоъгълника.

Някой би ли предложил решения?

[Martin Nikovski]

1.

Чертеж 1.

Drawing.jpg (9.29 KiB) Прегледано 352 пъти

Построяваме [tex]CH\bot AB[/tex].
[tex]AHCD[/tex] - правоъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AH=CD=6cm[/tex] и [tex]AD=CH[/tex].
[tex]ABCD[/tex] - описан около окръжност. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AB+CD=AD+BC[/tex]
[tex]AD+BC=12+6=18cm[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AD=18-BC[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta HBC[/tex]:
[tex]\cyr{PT}:[/tex] [tex]BC^2=BH^2+CH^2[/tex]
[tex]BH=AB-AH=12-6=6cm[/tex], [tex]CH=AD=18-BC[/tex]
[tex]BC^2=6^2+AD^2=36+\left(18-BC\right)^2=36+324-36BC+BC^2[/tex]
[tex]\cancel{BC^2}=360-36BC+\cancel{BC^2}[/tex]
[tex]BC=10cm[/tex]
[tex]AD=18-BC=18-10=8cm=CH[/tex]
[tex]sin\angle BCD=sin\ \left(90^\circ +\angle BCH\right)=cos\angle BCH=\frac{CH}{BC} =\frac{8}{10 }=\frac{4}{5 }[/tex].

2.

Чертеж 2.

Drawing2.jpg (13 KiB) Прегледано 347 пъти

[tex]OA=OB=OC=OD=R[/tex] (радиуси на окръжността).
Разглеждаме [tex]\Delta BOC:[/tex]
[tex]cos\ T[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BC^2=OB^2+OC^2-2OB.OC.cos\angle BOC[/tex]
[tex]BC^2=R^2+R^2-2R.R.cos\varphi =2R^2\left(1-cos\varphi\right)[/tex]
[tex]BC>0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BC=R\sqrt{2\left(1-cos\varphi\right)}[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AOB:[/tex]
[tex]cos\ T[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AB^2=OA^2+OB^2-2OA.OB.cos\angle AOB[/tex]
[tex]AB^2=R^2+R^2-2R.R.cos\ \left(180^\circ -\varphi\right) =2R^2\left(1+cos\varphi\right)[/tex]
[tex]BC>0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BC=R\sqrt{2\left(1+cos\varphi\right)}[/tex]

[tex]P_{ABCD}=2\left(AB+BC\right)=2\left(R\sqrt{2\left(1+cos\varphi\right)}+R\sqrt{2\left(1-cos\varphi\right)}\right)=2\sqrt2R\left(\sqrt{1+cos\varphi }+\sqrt{1-cos\varphi }\right)[/tex]

[Martin Nikovski]

П.П. Вторият ред отдолу нагоре да се чете:
[tex]AB>0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AB=R\sqrt{2\left(1+cos\varphi\right)}[/tex]

[skidrow]

Едно голямо благодаря!

[hari]

Може ли втората задача без косинусова теорема да се реши? Аз не мога. Търся помощ

[hari]

Може ли тази - втората задача да се реши със знания от 9-ти клас?

[prodanov]

Умишлено пропускам окръжноста, тъй като е чертежа ми голям. Нека просто приемем, че е там и R е нейният радиус.

Нека [tex]OH[/tex] е височина в [tex]\Delta BOC[/tex]([tex]H \in CB[/tex]) през [tex]\angle BOC[/tex]
Нека [tex]OE[/tex] е височина в [tex]\Delta BOA[/tex]([tex]E \in AB[/tex]) през [tex]\angle BOA[/tex]

знаем [tex]\angle BOC= \varphi[/tex] и [tex]R[/tex].

Но четириъгълникът е правоъгълник(по условие) => диагоналите му са равни и се разполоволяват в пресечната им точка [tex]O[/tex].
=> [tex]\Delta BOA[/tex] - равнобедрен([tex]OA=OB[/tex]). Тогава [tex]AE=EB[/tex]
=> [tex]\Delta BOC[/tex] - равнобедрен([tex]OB=OC[/tex]). Тогава [tex]CH=HB[/tex]

[tex]\angle HOC = \frac{\varphi}{2}[/tex]([tex]OH[/tex] - медиана, ъгълополувяща, височина в [tex]\Delta BOA[/tex], по построение).
по същата аналогия => [tex]\angle AOE = \frac{180-\varphi}{2}[/tex]

Нека сега разгледаме триъгълниците [tex]AOE[/tex] и [tex]HOC[/tex]
[tex]sin AOE = sin(\frac{180-\varphi}{2})= \frac{AE}{R}[/tex]; <=> [tex]AE= R.sin(\frac{180-\varphi}{2})[/tex]
[tex]sin HOC = sin(\frac{\varphi}{2})= \frac{HC}{R}[/tex]; <=> [tex]HC= R.sin(\frac{\varphi}{2})[/tex]

но [tex]AE=EB = \frac{AB}{2} => AB = 2AE = 2R.sin(\frac{180-\varphi}{2})[/tex]
по същата аналогия [tex]CB = 2R.sin(\frac{\varphi}{2})[/tex]

[tex]P_{ABCD} = 2AB + 2CB = 4R.sin(\frac{180-\varphi}{2}) + 4R.sin(\frac{\varphi}{2}) = 4R(sin(\frac{180-\varphi}{2}) + sin(\frac{\varphi}{2}))[/tex]


До тук задачата е решена на ниво 9ти клас ЗП, но с малко тригонометрия от 10ти клас ПП(или 11ти ЗП) може да получим окончаателно:

[tex]4R(sin(\frac{\pi-\varphi}{2}) + sin(\frac{\varphi}{2})) = 4R(sin(\frac{\pi-\varphi}{2}) + cos(\frac{\pi - \varphi}{2})) = 4R\sqrt2cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi-\varphi}{2}) =[/tex]
[tex]=4R\sqrt2cos(\frac{-\pi+2\varphi}{4}) = 4R\sqrt2cos(-(\frac{\pi-2\varphi}{4}))=[/tex]
но cos е четна функция =>
[tex]=4R\sqrt2cos(\frac{\pi-2\varphi}{4})[/tex]

[hari]

Благодаря, много хубаво си я обяснил. Малко ми е трудно да се потопя още в математическото море, така че ме извинете за въпросите ми.