Равнобедрен триъгълник и косинус, а и един тангенс

[skidrow]

Здравейте! Следните 2 задачи представляват голяма трудност за мен. Някой би ли помогнал?

1. Периметърът на равнобедрен триъгълни е 64 см, а косинусът на ъгъла при основата му е 0,28. Да се намерят височините му.

2.Лицето на правоъгълен триъгълник е 30 кв.см, а тангенсът на един от ъглите му е 2,4. Да се намери хипотенузата.

Благодаря!

[prodanov]

1) Спускаш височина CH(ъглополувяща,медиана) в равнобедрения тръгълник към основата АВ през върха С.

Нека [tex]\alpha[/tex] e ъгълът при основата. [tex]cos\alpha=\frac{7}{25}[/tex], но [tex]\Delta ACH[/tex] - правоъгълен по построение
=> [tex]cos\alpha=\frac{7}{25}=\frac{AH}{AC}[/tex]
=> [tex]AH=7x; AC = 25x[/tex]
=> [tex]AB = 14x[/tex]

[tex]P=64cm = 14x+50x=64x => x=1cm[/tex], т.е страните са 14,25,25

Питагор в [tex]\Delta ABH[/tex]: [tex]25^2=49+CH^2[/tex] => [tex]CH=24cm[/tex]


По абсолютно същата аналогия се намират останалите две височини, използвай cos при основата.


2)



[tex]tg\alpha=\frac{12}{5}=\frac{CB}{AC}[/tex]
=> [tex]AC=5x; CB=12x[/tex]

[tex]S=30=CB*AC=12x*5x=60x^2[/tex]
=> [tex]x^2=\frac{1}{2}[/tex] или x[tex]= \pm \frac{1}{\sqrt2}[/tex], но страните са положителни, така че [tex]x = \frac{\sqrt2}{2}[/tex]

=> [tex]AC = \frac{5\sqrt2}{2}; CB = \frac{12\sqrt2}{2}[/tex]

Питагор в [tex]\Delta ABC[/tex]:[tex]50+288=4AB^2; <=> AB^2 = \frac{169}{2}; AB= \frac{13\sqrt2}{2}[/tex]

[Гост]

само, че на 2рата задача ти е грешна формулата за лице на правоъгълен триъгълник...не е а.б, а е а.б/2, от което AB става 13...и тоя x дето го слагаш е абсолютно ненужен в случая

[Гост]

Здравейте! Следнaта задача представлява голяма трудност за мен. Някой би ли помогнал? В триъгълника ABC(CA=CB) AB=c и ъгъл CAB=алфа.Изразете чрез c и алфа: бедрото a

[Петър Евгениев]

Здравейте! Следнaта задача представлява голяма трудност за мен. Някой би ли помогнал? В триъгълника ABC(CA=CB) AB=c и ъгъл CAB=алфа.Изразете чрез c и алфа: бедрото a

Здравей, разбира се!
[tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]AB=c[/tex]
[tex]\angle CAB=\alpha[/tex]
[tex]AC=BC=?[/tex]
Нека бедрото да бъде [tex]x[/tex], (казвам бедрото, защото двете бедра са равни помежду си няма значение за кое от двете става дума)
[tex]AC=BC=x[/tex]
Косинусовата теорема гласи следното:[tex]a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\alpha[/tex]
[tex]b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac.cos\beta[/tex]
[tex]c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ab.cos\gamma[/tex]
[tex]BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2(AB)(AC).cos\alpha[/tex](Защо избрах точно от [tex]BC[/tex] да започна? Защото знам ъгъла срещу [tex]BC[/tex] следователно и косинуса на ъгъла също го знам
[tex]AC=BC=x \Leftrightarrow BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2(AB)(AC).cos\alpha \Rightarrow x^{2}=c^{2}+x^{2}-2(c)(x).cos\alpha[/tex] ([tex]cos\alpha, c[/tex] за теб са известни(дадени) така ,че не се притеснявай за тях само хикс е неизвестно.
[tex]x^{2}=c^{2}+x^{2}-2(c)(x).cos\alpha[/tex],трябва просто да изразим хикс тук и готово
[tex]\cancel{x^{2}}-\cancel{x^{2}}=c^{2}-2.c.x.cos\alpha[/tex]
[tex]0=c^{2}-2.c.x.cos\alpha \Leftrightarrow 2.c.x.cos\alpha=c^{2}|:(2.c.cos\alpha) \Leftrightarrow \frac{2.c.x.cos\alpha}{2.c.cos\alpha}=\frac{c^{2}}{2.c.cos\alpha}[/tex]
[tex]\frac{x.\cancel{2.c.cos\alpha}}{\cancel{2.c.cos\alpha}}=\frac{\cancel{c^{2}}}{\cancel{c}.2.cos\alpha} \Leftrightarrow x=\frac{c}{2cos\alpha}[/tex]

[S.B.]

Здравейте! Следнaта задача представлява голяма трудност за мен. Някой би ли помогнал? В триъгълника ABC(CA=CB) AB=c и ъгъл CAB=алфа.Изразете чрез c и алфа: бедрото a

Ето ти още един начин:CH[tex]\bot[/tex]AB;CH e и височина и медиана ,следователно AH = [tex]\frac{c}{2}[/tex];
[tex]\triangle[/tex]ACH e правоъгълен следователно [tex]\frac{АH}{AC}[/tex] = cos[tex]\alpha[/tex] или AH = AC.cos[tex]\alpha[/tex] ,[tex]\frac{c}{2}[/tex] = b.cos[tex]\alpha[/tex] или b = [tex]\frac{c}{2cos\alpha}[/tex]

[ева]

2 зад.
[tex]\triangle[/tex]АВС-правоъг.,tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{24}{10}[/tex]=[tex]\frac{12}{5}[/tex],S=30 [tex]см^{2}[/tex],нека АС=b,BC=a //c=?(първо a=? b=?)
Съставяме с-ма
[tex]\begin{array}{|l} tg\alpha=\frac{BC}{AC} \\ \frac{ab}{2}=S \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} \frac{12}{5}=\frac{a}{b}\\ \frac{ab}{2}=30\end{array}[/tex] ...
a=12 см., b=5 см.[tex]\Rightarrow[/tex] c=[tex]\sqrt{12^{2}+5^{2}}[/tex]=13 см.
отг.13 см.