Четириъгълник

[Гост]

Добър ден, може ли да помогнете с тази задача от четириъгълник?

Дадени са точки А(-1;2), В(2;-1), С(1;-3) и D(-5;3)
А) Определете вида на четириъгълника ABCD.
Б) намерете косинуса на острия ъгъл между диагоналите на четириъгълника.

[ammornil]

Добър ден, може ли да помогнете с тази задача от четириъгълник?

Дадени са точки А(-1;2), В(2;-1), С(1;-3) и D(-5;3)
А) Определете вида на четириъгълника ABCD.
Б) намерете косинуса на острия ъгъл между диагоналите на четириъгълника.

Точките [tex]A, B, C, D[/tex] в този ред образуват изпъкнал четириъгълник (виж чертежа)
Определяме наклоните на правите, определени от съответните отсечки:
[tex]\begin{array}{llll} k_{AB}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{-1-2}{2-(-1)}=-1 \\ k_{BC}=\frac{y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}=\frac{-3-(-1)}{1-2}=2 \\ k_{CD}=\frac{y_{D}-y_{C}}{x_{D}-x_{C}}=\frac{3-(-3)}{-5-1}=-1 \\ k_{DA}=\frac{y_{A}-y_{D}}{x_{A}-x_{D}}=\frac{2-3}{-1-(-5)}=-\frac{1}{4} \\ & k_{AB}=k_{CD} \Rightarrow AB\|CD \Rightarrow & ABCD \text{ е трапец.} \\ AD=\sqrt{(x_{D}-x_{A})^{2}+(y_{D}-y_{A})^{2}}=\sqrt{(-5-(-1))^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt{17} \\ BC=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^{2}+(y_{C}-y_{B})^{2}}=\sqrt{(1-2)^{2}+(-3-(-1))^{2}}=\sqrt{5} \\ & AD\ne{BC} \Rightarrow & \text{трапецът не е равнобедрен.}\end{array}[/tex]

Тангенсът между две прави с наклони [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] e [tex]\tg{\theta}=\frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}\cdot{k_{2}}}[/tex]
[tex]\begin{array}{llr} k_{AC}=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{-3-2}{1-(-1)}=-\frac{5}{2} \\ k_{BD}=\frac{y_{D}-y_{B}}{x_{D}-x_{B}}=\frac{3-(-1)}{-5-2}=-\frac{4}{7} \\ \theta=\angle{(AC,BD)} \Rightarrow & \tg{\theta}=\frac{k_{AC}-k_{BD}}{1+k_{AC}\cdot{k_{BD}}} = \frac{-\frac{4}{7}-\left( -\frac{5}{2}\right)}{1+\left( -\frac{4}{7}\right)\left( -\frac{5}{2}\right)}=\frac{\frac{-2\cdot{4}+5\cdot{7}}{14}}{\frac{14+20}{14}}=\frac{27}{34} \\ \tg{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{27}{34} \Rightarrow \sin{\theta}=\frac{27}{34}\cdot{\cos{\theta}} \\ \sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta} = 1 \Rightarrow & \left(\frac{27}{34}\cdot{\cos{\theta}}\right)^{2}+\cos^{2}{\theta} = 1 \\ \frac{729+1156}{1156}\cos^{2}{\theta} = 1 \\ \cos^{2}{\theta}=\frac{1156}{1885} \\ && \cos{\theta}=\frac{34\sqrt{1885}}{1885} \end{array}[/tex]
Проверете сметките за изчислителни грешки, защото числата ми изглеждат много криви...
[tex][/tex]

[tex][/tex]

[nikola.topalov]

а) Четириъгълникът е трапец, понеже [tex]\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}[/tex] и [tex]\overrightarrow{BC}\nparallel\overrightarrow{AD}[/tex].

б) Образуваме [tex]\overrightarrow{AC}(2,-5)[/tex] и [tex]\overrightarrow{DB}(7,-4)[/tex] и пресмятаме $$\cos\measuredangle(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{DB})_e=\dfrac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{DB}|}=\dfrac{34}{\sqrt{29}\sqrt{65}}
$$