Аритметична и геометрична прогресия

[Гост]

Здравейте,
много моля за решение на тези две задачи.
Както и пояснение, дали всички задачи от този тип, се решават по идентичен начин.

1. За геометрична прогресия с общ член An, е известно че a2+a5-a4=10
и a3+a6-a5=20.
Намерете първият член и частното на прогресията.


2. За аритметична прогресия с общ член An е известно че a3+a5=30
и a4+a6=38
Намерете сумата от първите 11члена.

Много благодаря за съдействието!

[ammornil]

Повечето задачи от този тип се решават като всички членове от даденото се изразят чрез първия член на прогресията, това дава две уравнения с две неизвестни (второто неизвестно за геомертрична прогресия е частносто ѝ, а за аритметична прогресия е разликата ѝ).
(1)
[tex]\begin{array}{lrll} \overset{..}{\underset{^{..}}{-}} \rightarrow a_{n}=a_{1}\cdot{q^{n-1}} && \begin{array}{|l} a_{2}+a_{5}-a_{4}=10 \\ a_{3}+a_{6}-a_{5}=20 \end{array} \\ && \hspace{0.2em} \begin{array}{|l} a_{1}q+a_{1}q^{4}-a_{1}q^{3}=10 \\ a_{1}q^{2}+a_{1}q^{5}-a_{1}q^{4}=20 \end{array} \\ &\div& \begin{array}{|l} a_{1}q^{2}(1+q^{3}-q^{2})=20 \\ a_{1}q(1+q^{3}-q^{2})=10 \end{array} \\ && \hspace{0.2em} \begin{array}{|l} q=2 \\ a_{1}=\frac{10}{q(1+q^{3}-q^{2})} \end{array} \\ && \begin{array}{|l} q=2 \\ a_{1}=1 \end{array} \end{array}[/tex]

(2)
[tex]\begin{array}{lrll} \div \rightarrow a_{n}=a_{1}+(n-1)d && \begin{array}{|l} a_{3}+a_{5}=30 \\ a_{4}+a_{6}=38 \end{array} \\ && \hspace{0.2em} \begin{array}{|l} a_{1}+2d+a_{1}+4d=30 \\ a_{1}+3d+a_{1}+5d=38 \end{array} \\ &-& \begin{array}{|l} 2a_{1}+6d=30 \\ 2a_{1}+8d=38 \end{array} \\ && \hspace{0.2em} \begin{array}{|l} -2d=-8 \\ 2a_{1}+6d=30 \hspace{2em} |\div{2} \end{array} \\ && \begin{array}{|l} d = 4 \\ a_{1}=15-3d \end{array} \\ && \hspace{0.2em} \begin{array}{|l}d=4 \\ a_{1}=3 \end{array} \\ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}\cdot{n} & \Rightarrow & S_{11}=\frac{2\cdot{3}+(11-1)\cdot{4}}{2}\cdot{11}=\cdots\end{array}[/tex]

Понякога има някои "хитринки", които ако успеем да съобразим, дават по-кратки решения, но генералният метод за решаване е този.

[Гост]

Много ви благодаря, мисля че ми стана ясно, особено за човек, който 20години не е отварял учебник.