Стереометрия. Пирамида

[Гост]

Добър вечер! Изпитвам затруднения с раздела ,, Стереометрия" и в училище не се обръща достатъчно внимание за упражняване на взетия материал. Ще съм много благодарна, ако някой може да ми обясни как се решава задачата, която ще напиша по-долу. Съжалявам, че пиша толкова късно, задачата ми трябва до днес, тъй като е за утре. Предварително благодаря!
Задача: Основата на триъгълна пирамида АВСМ е равнобедрен правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АВ = 15√2 см. Околният ръб МС е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина 8 см. Намерете обема и лицето на повърхнината на пирамидата.

[S.B.]

Добър вечер! Изпитвам затруднения с раздела ,, Стереометрия" и в училище не се обръща достатъчно внимание за упражняване на взетия материал. Ще съм много благодарна, ако някой може да ми обясни как се решава задачата, която ще напиша по-долу. Съжалявам, че пиша толкова късно, задачата ми трябва до днес, тъй като е за утре. Предварително благодаря!
Задача: Основата на триъгълна пирамида АВСМ е равнобедрен правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АВ = 15√2 см. Околният ръб МС е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина 8 см. Намерете обема и лицето на повърхнината на пирамидата.

Без заглавие - 2024-03-14T142310.076.png (284.31 KiB) Прегледано 2068 пъти

В стереометрията се използва много от знанията,които Вие съм сигурна сте придобили по планиметрия и тригонометрия в предишните класове.Аз ще обяснявам само това,което е ново за Вас
Околният ръб $CM$ е перпендикулярен на равнината на основата - това означава, че $MC$ е перпендикулярен на всяка права от основата.
[tex]MC \bot CA \Rightarrow \triangle MCA[/tex] е правоъгълен
[tex]MC \bot BC \Rightarrow \triangle MBC[/tex] е правоъгълен

[tex]\triangle ABC , \angle C = 90 ^\circ , AC = BC , AB = 15\sqrt{2} \Rightarrow AC = BC = 15[/tex]( ЗАЩО?)
[tex]V_{ABCD } = \frac{ S_{ABC } .MC}{3} \Leftrightarrow V_{ABCD } = \frac{1}{3}.8. \frac{ 15^{2 } }{2}[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCD } = 300 cm^{3 } $$
[tex]S_{ABCD } = S_{MAC } + S_{MBC } + S_{ABM } + S_{ABC }[/tex]
[tex]\triangle MAC \cong \triangle MBC \Rightarrow S_{MAC } = S_{MBC } = \frac{15.8}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{MAC } = S_{MBC } = 60$$
За [tex]\triangle MCA[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам $MA = 17$
[tex]\triangle MAC \cong \triangle MBC \Rightarrow MB = MA = 17[/tex]
[tex]S_{ABM } = \frac{AM.BM}{2} .\sin \varphi[/tex] , където [tex]\varphi = \angle AMB[/tex]
За [tex]\triangle AMB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \varphi = \frac{ AB^{2 } - AM^{2 }- BM^{2 } }{-2.AM.BM} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{450 - 2.289}{-2.289} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{128}{2.289} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{2.64}{2.289}[/tex]
$$\Rightarrow \cos \varphi = \frac{64}{289} $$
[tex]\sin \varphi= \sqrt{1 - \cos^{2 } \varphi } = \frac{15 \sqrt{353} }{289}[/tex]
[tex]S_{ABM } = \frac{ 17^{2 } }{2}. \frac{15 \sqrt{353} }{289} = \frac{15 \sqrt{353} }{2}[/tex]

$$S_{ABCD } = 2.60 + \frac{15 \sqrt{353} }{2} + \frac{ 15^{2 } }{2} = ......$$

Виждаш,че единственият нов материал е ,че когато една права е перпендикулярна на дадена равнина,тя е перпендикулярна на всяка права от тази равнина.
Умишлено те разходих и до Косинусова теорема.Можеше да се мине и без това,като се направи сечение през височината на пирамидата перпендикулярно на основата,но сметнах,че ще ти дойде в повече!

[Гост]

Много благодаря за помощта! ☺️