Задачка

[Гост]

Правоъгълен триъгълник има катет а и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex] Намерете дължините на другите две страни на триъгълника , S, r, R

[ammornil]

Правоъгълен триъгълник има катет а и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex] Намерете дължините на другите две страни на триъгълника , S, r, R

Нека вторият катет е [tex]b[/tex] и хипотенузата е [tex]c[/tex].
Ако [tex]a[/tex] лежи срещу [tex]\alpha[/tex][tex]\\ c=\frac{a}{\sin{\alpha}}=a\cdot{}\sqrt{1+\cotg^{2}{\alpha}} \\ b=a\cdot{\cotg{\alpha}} \\ S=\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}=\frac{1}{2}\cdot{}a^{2}\cdot{}\cotg{\alpha} \\ \frac{a}{\sin{\alpha}}=2\cdot{}R \Rightarrow R=\frac{a}{2\cdot{}\sin{\alpha}} \\ p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+a\cdot{}\cotg{\alpha}+a\cdot{}\sqrt{1+\cotg^{2}{\alpha}}}{2}=\frac{a\cdot{}(1+\cotg{\alpha}+\sqrt{1+\cotg^{2}{\alpha})}}{2} \\ S=p\cdot{}r \Rightarrow r=S\cdot{}\frac{1}{p}=\frac{1}{2}\cdot{}a^{2}\cdot{}\cotg{\alpha}\cdot{}\frac{2}{a\cdot{}(1+\cotg{\alpha}+\sqrt{1+\cotg^{2}{\alpha})}}=\frac{a\cdot{}\cotg{\alpha}}{1+\cotg{\alpha}+\sqrt{1+\cotg^{2}{\alpha}}}[/tex]


Ако [tex]a[/tex] НЕ лежи срещу [tex]\alpha[/tex][tex]\\ \beta=90^{\circ}-\alpha \Rightarrow \begin{cases} \sin{\beta}=\sin{(90^{\circ}-\alpha)}=\cos{\alpha} \\ \cotg{\beta}=\cotg{(90^{\circ}-\alpha)}=\tg{\alpha} \end{cases} \\ c=\frac{a}{\cos{\alpha}}=a\cdot{}\sqrt{1+\tg^{2}{\alpha}} \\ b=a\cdot{\tg{\alpha}} \\ S=\frac{1}{2}\cdot{a}\cdot{b}=\frac{1}{2}\cdot{}a^{2}\cdot{}\tg{\alpha} \\ \frac{a}{\sin{\beta}}=\frac{a}{\cos{\alpha}}=2\cdot{}R \Rightarrow R=\frac{a}{2\cdot{}\cos{\alpha}} \\ p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+a\cdot{}\tg{\alpha}+a\cdot{}\sqrt{1+\tg^{2}{\alpha}}}{2}=\frac{a\cdot{}(1+\tg{\alpha}+\sqrt{1+\tg^{2}{\alpha})}}{2} \\ S=p\cdot{}r \Rightarrow r=S\cdot{}\frac{1}{p}=\frac{1}{2}\cdot{}a^{2}\cdot{}\tg{\alpha}\cdot{}\frac{2}{a\cdot{}(1+\tg{\alpha}+\sqrt{1+\tg^{2}{\alpha})}}=\frac{a\cdot{}\tg{\alpha}}{1+\tg{\alpha}+\sqrt{1+\tg^{2}{\alpha}}}[/tex]