Геометрия 10-ти клас

[Гост]

Условие:
В окръжност е вписан остроъгълен равнобедрен триъгълник. Да се намери лицето му, ако разстоянията от центъра на окръжността до бедрото и до основата му са съответно 15 см и 7 см.

Опитах се сам, но до никъде не можах да стигна..

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]АВС (АС=ВС=2b ;АВ= 2a) и т.О се явява вътрешна за [tex]\triangle[/tex]АВС
Нека ОН=15 см. и ОМ=7 см. са разстоянията от т.О съответно до бедрото АС и до основата АВ .
Част от правата ОН е диаметър на окр. ,за който е дадено ,че е [tex]\bot[/tex]АС [tex]\Rightarrow[/tex]
диаметърът ще разполовява хордата АС т.е. АН=СН=b .
Много по-лесно се доказва ,че АМ=ВМ=а

[tex]\begin{array}{|l} триъг.AMO-правоъг. \\ триъг.AOH-правоъг. \\ триъг.AMC-правоъг. \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a^{2 } =R^{2 } -49 \\ b^{2 } =R^{2 }-225 \\ a^{2 } + (R+7)^{2 } =(2b)^{2 } \end{array}[/tex]

Заместваме a,b в третото ур-е и получаваме [tex]R^{2 }[/tex]-7R-450 =0 с един положителен корен R =25 см.
Тогава a=24 см. , b=20 см.
[tex]S_{ABC } =\frac{AB.CM}{2} = \frac{2a(R+7)}{2} =24(25+R)= 768 см.^{2 }[/tex]