Ирационални уравнения

[Jdoe]

Пробвах по много начини. Дори използвах photomath. Нито с повдигане на втора степен на двете страни на уравнението се получава; нито с прехвърляне на единия радикал и повдигане. Може ли помощ?

[ammornil]

В случаи като този, можете просто да заместите с всеки от дадените отговори в дадения израз и да намерите кой удовлетворява равенството.

Все пак, ето как се намират корените на даденото уравнение ако нямахме дадени, от които да избираме.

[tex]\text{ДМ} \quad \begin{array}{|l} 5x-1\ge{}0 \\ x+2\ge{}0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x\ge{}\dfrac{1}{5} \\ x\ge{}-2 \end{array} \Rightarrow x\in\left[\dfrac{1}{5};+\infty\right)[/tex]

[tex]\sqrt{5x-1}=5-\sqrt{x+2} \quad |(\cdots)^{2} \\[12pt] 5x-1=25-10\sqrt{x+2}+x+2 \\[12pt] 4x-28=-10\sqrt{x+2} \quad |\div 2 \\[12pt] 2x-14=-5\sqrt{x+2} \quad |(\cdots)^{2} \\[12pt] 4x^{2}-56x+196=25(x+2) \\[12pt] 4x^{2}-81x+146=0 \\ \quad D=81^{2}-4\cdot{4}\cdot{146}=4225 \rightarrow \sqrt{D}=65 \\ x_{1,2}=\frac{81\pm{}65}{2\cdot{4}} \quad \begin{cases} x_{1}=\dfrac{16}{8}=2 \in \text{ДМ} \\[6pt] x_{2}=\dfrac{146}{8}=\dfrac{73}{4}=18\dfrac{1}{4} \in \text{ДМ} \end{cases}[/tex]

Проверка за придобити корени:
[tex]\sqrt{5\cdot{2}-1}+\sqrt{2+2} =5 \Rightarrow \sqrt{9}+\sqrt{4}=5 \Rightarrow 3+2=5 \Rightarrow x=2 \text{ е решение} \\[24pt] \sqrt{5\cdot{}\dfrac{73}{4}-1}+\sqrt{\dfrac{73}{4}+2}=5 \Rightarrow \sqrt{\dfrac{5\cdot{}73-4\cdot{}1}{4}}+\sqrt{\frac{73+2\cdot{}4}{4}} = 5 \\ \Rightarrow \frac{19}{2}+\frac{9}{2}=5 \Rightarrow 14\ne{}5 \Rightarrow x=18\dfrac{1}{4} \text{ не е решение}[/tex]