Помощ за квадратно неравенство с параметър

[strangerforever]

Задачата е следната:

Да се намери при какви стойности на параметъра b квадратното уравнение [tex]bx^{2}[/tex] + (7b+4)x - 4 = 0 има един корен, който е по-голям от 1 и по-малък от 2 и един корен, който е по-голям от 2.

Отг. b [tex]\in[/tex] [tex]( -\frac{2}{9 } ; 0 )[/tex]

Моля, ако в решението се използва f(a) * a или нещо от сорта да ми бъде обяснено (и доказано, ако може, защото има и такава задача, която също не мога да реша) защо се използва, как се използва и като цяло това ми е основният проблем, не ми е проблем да го огранича до нулата. Благодаря предварително.

[ptj]

http://bgnauka.com/index.php?mod=front&fnc=pub_page&pid=10192

При [tex]a>0[/tex] => [tex]ax^2+bx+c[/tex] има минимум в т.[tex]-\frac{b}{2a }[/tex] и е неограничена отгоре (парабола в връх сочещ надолу).

При [tex]a<0[/tex] => [tex]ax^2+bx+c[/tex] има максимум в т.[tex]-\frac{b}{2a }[/tex] и е неограничена отдолу (парабола в връх сочещ нагоре).

Необходимо и достатъчно условие за съществаване на реални корени на квадратно уравнение е [tex]D\ge 0[/tex].

1.)Kогато в задача се търси число да е свързано с корените естествено първото условие ще е те да съществуват.

2.) Когато корените съществуват, едно число [tex]\alpha[/tex] е между тях точно когато [tex]a.f(\alpha )<0[/tex].
Ако ти е трудно да разбереш защо, разгледай 2 случая според знака на "а" и съобрази как изглеждат графиките (писах по-горе).

[strangerforever]

Благодаря ти много. Още нещо: може ли доказателства за поне 1 от тези теореми, защото и такава задача имам, например за тази:

Теорема 3: ƒ(x)=0 има реални корени x1 и x2,такива че дадено число α е между корените 
a.ƒ(α)<0

Ще съм много благодарен.

[ptj]

Обясних го вече, ако все още не го разбираш начертай си две графики. Например [tex]x^2+2x-3[/tex] и [tex]-x^2-2x+3[/tex].

[strangerforever]

Всичко разбрах, благодаря много за помощта.

[strangerforever]

Последен въпрос, защото сега се зачудих за това, ако може.

Теорема4: ƒ(x)=0 има реални корени x1 и x2,такива че и двата корена принадлежът (α;β) |D>=0
|a.ƒ(α)>0
|a.ƒ(β)>0
|-b/2a>α
|-b/2a>β

Тук не трябва ли -b/2a да се намира м/у двете, защото ако е по-голям и от двете, то x2 ще е също по-голям и от двете и няма да принадлежат на интервала? Мисълта ми е, не е ли объркано и да трябва да е -b/2a>α и -b/2a<β при α<β?

[ptj]

Да, правилно си забелязал(а). Трябва да е изпълнено:

[tex]\alpha < -\frac{b}{2a } < \beta[/tex]

[baroveca]

Разгледай тази тема viewtopic.php?f=20&t=2780

[strangerforever]

Разбрах всичко, само се чудя дали е нужна да се прави проверка винаги за Д >= 0?

[ptj]

Разбрах всичко, само се чудя дали е нужна да се прави проверка винаги за Д >= 0?

Необходима е ако се иска съществуване на корени. Когато са два [tex]D>0[/tex]. Когато е един (двоен), той е точно [tex]\frac{-b}{2a}[/tex] и [tex]D=o[/tex]