Трапец

[Гост]

В трапеца АВСD AB=12сm, CD=3 cm, AC=6 cm. Ако AD=5 cm дължината на BC е:

[ammornil]

Screenshot 2024-12-27 140307.png (19.68 KiB) Прегледано 203 пъти

$\\[12pt] ABCD, \quad AB\|CD, \quad AB=12[cm],\quad AD=5[cm], \quad CD=3[cm], \quad AC=6[cm] \\[6pt] \triangle{ABC}: \quad \begin{array}{|l} AB+AC>BC \\ AC+BC>AB \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 12+6>BC \\ 6+BC>12 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} BC<18 \\ BC>6 \end{array} \Rightarrow BC \in (6; 18) \\[6pt] CE\|AD, E\in{}AB \Rightarrow CE=AD=5[cm] \\[6pt] \begin{cases} AC\|EC \\ AE\|DC \end{cases} \Rightarrow ABCD \text{ е успоредник} \Rightarrow AE=DC=3[cm] \\[6pt] \triangle{ACB}:\text{Косинусова теорема} \quad{} AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot{}AB\cdot{}BC\cdot{}\cos{\angle{ABC}} \\[6pt] \triangle{ECB}:\text{Косинусова теорема} \quad{} EC^{2}=EB^{2}+BC^{2}-2\cdot{}EB\cdot{}BC\cdot{}\cos{\angle{ABC}} \\[12pt] \angle{ABC}=\beta \rightarrow AC^{2}-EC^{2}=AB^{2}-EB^{2}-2\cdot{}AB\cdot{}BC\cdot{}\cos{\beta}+2\cdot{}EB\cdot{}BC\cdot{}\cos{\beta} \Leftrightarrow \cos{\beta}=\dfrac{AB^{2}-EB^{2}-(AC^{2}-EC^{2})}{2\cdot{}BC\cdot{}(AB-EB)} \\[6pt] \quad \cos{\beta}=\dfrac{144-81-36+25}{2\cdot{}x\cdot{}3}=\dfrac{26}{3x} \\[12pt] AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot{}AB\cdot{}BC\cdot{}\cos{\beta} \quad \Leftrightarrow \quad 36=144+x^{2}-2\cdot{}12\cdot{}x\cdot{}\dfrac{26}{3x} \\[6pt] \Leftrightarrow x^{2}+144-208-36=0 \Leftrightarrow x^{2}=100 \Leftrightarrow x=\pm{}10 \\[12pt] BC \in{}(6;18) \Rightarrow BC=10[cm]$ $$ BC=10[cm]$$

[Евва]

Мисля ,че трябва да се разгледа и втори случай ,когато AD||BC .

Тогава получих BC= [tex]\frac{26+4 \sqrt{211} }{5} \approx[/tex] 17 см.