Помощ 2: за квадратно уравнение с параметър

[strangerforever]

Първо, извинявам се двете поредни теми, които пускам. Имам нужда от помощ за една задача, не мисля, че е особено трудна, но за мен просто е малко нетипична.

Задачата гласи:

За кои стойности на реалния параметър c ≠ 0 уравнението [tex]cx^{4} + (2c-1)x^{3} + x^{2} + (2c-1)x + c = 0[/tex] има два реални и два нереални корена?

Отг.:c [tex]\in[/tex] (-∞; 0) [tex]\cup[/tex] (0;[tex]\frac{1}{6}[/tex]] [tex]\cup[/tex] [tex][\frac{3}{ 2}[/tex] ; ∞)

Предварително благодаря на всекиго, изявил желание да помогне.

[ptj]

Ако [tex]x_1[/tex],[tex]x_2[/tex], [tex]x_3[/tex] и [tex]x_4[/tex] са корени на уравнението ти, то е еквивалентно на:

[tex](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0[/tex]

Нека x_1 и x_2 са реални, a x_3 и x_4 комплексни.

По принцип може да реши с метода на непределените коефициенти. Той включва разкриване на скобите ,групиране на еднаквите степени на [tex]x[/tex] и накрая приравняването им към коефициентите пред сътветните степени от оригиналното уравненние. Получава се система уравнения.

Но този метод е малко тежък за ученици, затова ще ти обясня друго решение. Необходимо е
(1) [tex]cx^4+(2c-1)x^3+x^2+(2c-1)x+c[/tex]
да се разлага на два тричлена от 2-ра степен, като първия има два релни корена, а 2-рия два комплексни. Това е изпълнено точно когато дискриминантата на първия е положителна, а на втория неотрицателна.

За самото разлагане има поне 3 начина:
- групиране
- метод на неопределените коефициенти
- използване на Теорема на Безу

Аз ще обясня 3-тия. Теоремата гласи, че за всеки рационален корен [tex]\frac{p}{q }[/tex] е изпълнено:
p дели свободния член на (1), т.е. [tex]c[/tex].
q дели коефициента пред старшата степен (4-та), т.е. [tex]c[/tex].

Тогава реалните корени [tex]x_1,x_2[/tex] могат да са някое от числата [tex]\pm 1[/tex],[tex]\pm c[/tex] или [tex]\frac{\pm 1}{ c}[/tex].

Странното е, че за нито едно от тях (1) не се нулира, вероятно е объркан някой от коефициентите в условието. Би ли проверил(а) дали това е така или не?

[ganka simeonova]

Ако [tex]x_1[/tex],[tex]x_2[/tex], [tex]x_3[/tex] и [tex]x_4[/tex] са корени на уравнението ти, то е еквивалентно на:

[tex](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0[/tex]

Нека x_1 и x_2 са реални, a x_3 и x_4 комплексни.

По принцип може да реши с метода на непределените коефициенти. Той включва разкриване на скобите ,групиране на еднаквите степени на [tex]x[/tex] и накрая приравняването им към коефициентите пред сътветните степени от оригиналното уравненние. Получава се система уравнения.

Но този метод е малко тежък за ученици, затова ще ти обясня друго решение. Необходимо е
(1) [tex]cx^4+(2c-1)x^3+x^2+(2c-1)x+c[/tex]
да се разлага на два тричлена от 2-ра степен, като първия има два релни корена, а 2-рия два комплексни. Това е изпълнено точно когато дискриминантата на първия е положителна, а на втория неотрицателна.

За самото разлагане има поне 3 начина:
- групиране
- метод на неопределените коефициенти
- използване на Теорема на Безу

Аз ще обясня 3-тия. Теоремата гласи, че за всеки рационален корен [tex]\frac{p}{q }[/tex] е изпълнено:
p дели свободния член на (1), т.е. [tex]c[/tex].
q дели коефициента пред старшата степен (4-та), т.е. [tex]c[/tex].

Тогава реалните корени [tex]x_1,x_2[/tex] могат да са някое от числата [tex]\pm 1[/tex],[tex]\pm c[/tex] или [tex]\frac{\pm 1}{ c}[/tex].

Странното е, че за нито едно от тях (1) не се нулира, вероятно е объркан някой от коефициентите в условието. Би ли проверил(а) дали това е така или не?

[ptj]

...

[allier]

Уравнението е симетрично (коефициентите са същите, гледани отляво надясно, или обратно). Затова делиш на [tex]x^2[/tex] и правиш квадратно уравнение на [tex](x+\frac{1}{x })[/tex]. Пробвай се сам, strangeforever, и ако не можеш, кажи и ще го напиша.

[ganka simeonova]

Уравнението е реципрочно.
За да има 4 корена ( два реални и два нереални), трябва с да не е 0.
Тогава след деление на [tex]x^2[/tex], групиране по коефициентите получаваме:
[tex]c(x^2+\frac{1}{x^2 } )+(2c-1)(x+\frac{1}{ x} )+1=0[/tex]
[tex]ct^2+(2c-1)t+1-2c=0[/tex]
От неравенството на Коши=>[tex]x+\frac{1}{x } \ge 2[/tex], при х>0, [tex]x+\frac{1}{x } \le 2[/tex], при х<0.
Равенство се достига за [tex]x=\pm 1[/tex]
Значи, за да има у-то исканите корени, трябва:
1)[tex]t_1\le -2[/tex] и [tex]t_2\in (-2; 2)[/tex] или
2)[tex]t_1\ge 2[/tex] и [tex]t_2\in (-2; 2)[/tex]
Всичко се свежда до разпределение на корени.

[ganka simeonova]

Мнение от ptj » Нед Окт 10, 2010 3:30 pm

Почваш да ме дразниш. Коментарите ти са неуместни. Ако не четяха деца форума бих го казал по съвсем друг начин.

П.П. Мога да тръгна и от отговорите, за да проверя дали съм прав, но не ми се занимава.

Koe те накара да промениш мнението си на многоточие?

[b1ck0]

Мнение от ptj » Нед Окт 10, 2010 3:30 pm

Почваш да ме дразниш. Коментарите ти са неуместни. Ако не четяха деца форума бих го казал по съвсем друг начин.

П.П. Мога да тръгна и от отговорите, за да проверя дали съм прав, но не ми се занимава.

Koe те накара да промениш мнението си на многоточие?

Този филм съм го гледал вече ....

[ganka simeonova]

Прекрасно! Ако го гледаш и трети път, ще разбереш за какво иде реч, може би!

[b1ck0]

Прекрасно! Ако го гледаш и трети път, ще разбереш за какво иде реч, може би!

Дори не знам за какво говорите ...

[strangerforever]

Да карам наред. Първо - не е объркано, проверих, всичко е така. Второ - не сме учили нито теорема на Безу, нито неравенства на Коши, но да приемем, че Безу можем да го ползваме, все пак - ако може, да се довърши задачата докрай, защото не знам как да я продължа нататък, може би е елементарна след като се намерят корените, но не мога.

Трето - имам един въпрос към ptj, не е ли възможно да се разлага на 2 тричлена, от които и двата имат по 1 реален и един нереален корен? Съсвем хипотетичен въпрос, може и да звучи глупаво на някои, но ми е интересно.

Четвърто - allier, ще те помоля да го напишеш, защото стигам до момента, в който gankasimeonova използва неравенствата на Коши, които са ми напълно непознати.

Благодаря на всички за помощта и се извинявам за невежеството си.

[ganka simeonova]

Така, за н-то на Коши Нека [tex]x>0[/tex]
[tex]x^2-2x+1\ge 0=>x^2+1\ge 2x[/tex] Делим на [tex]x=>x+\frac{1}{ x} \ge 2[/tex]

Равенство се получава за х=1.
Аналогично в огледални случай, когато х<0=> [tex]x+\frac{1}{ x} \le -2[/tex]

[strangerforever]

Това го разбрах, но се страхувам, че не ти разбирам цялостната идея. Това уравнение от къде дойде, което го използва в последния пост, какво общо има с уравнението, което получи с полагането и защо това са 2-та случая, в които уравнението ще има исканите корени? И при x<0 в първия ти пост, не трябва ли да е -2 в дясното страна, а не 2? Просто ще те помоля да обясниш по-обстойно решението, например защо можем да я използваме тази теорема и как точно ще я използваме и т.н.

[ganka simeonova]

Уравнението е реципрочно.
За да има 4 корена ( два реални и два нереални), трябва с да не е 0.
Тогава след деление на [tex]x^2[/tex], групиране по коефициентите получаваме:
[tex]c(x^2+\frac{1}{x^2 } )+(2c-1)(x+\frac{1}{ x} )+1=0[/tex]
[tex]ct^2+(2c-1)t+1-2c=0[/tex]
От неравенството на Коши=>[tex]x+\frac{1}{x } \ge 2[/tex], при х>0, [tex]x+\frac{1}{x } \le -2[/tex], при х<0.
Равенство се достига за [tex]x=\pm 1[/tex]
Значи, за да има у-то исканите корени, трябва:
1)[tex]t_1\le -2[/tex] и [tex]t_2\in (-2; 2)[/tex] или
2)[tex]t_1\ge 2[/tex] и [tex]t_2\in (-2; 2)[/tex]
Всичко се свежда до разпределение на корени.

За да разбереш идеята ми, представи си 2 сл) нека у-то спрямо t има два корена. 5 и (-1)
Тогава, като се върнеш в полагането ще имаш два случая:
а) [tex]x+\frac{1}{x } =5=>x^2-5x+1=0[/tex] Това у-е има два реални корена
б) [tex]x+\frac{1}{ x}=-1=>x^2+x+1=0[/tex] Д<0 и у-то няма реално корени, т.е. има два комплексни.
Аналогично и за случай 1)

[ganka simeonova]

Бях изпуснала един минус и го поправих в последния си пост. В предния не мога.

[strangerforever]

Добре, това, което го обясни, го разбрах. Не разбирам преди него, не разбирам от къде изобщо се стига до неравенство и например това неравенство, което използва, за да ми обясниш Коши, къде изобщо се стига до него в задачата, че да следва неравенството от Коши? Мисля, че пропускаш нещо, което мислиш, че се разбира от само себе си, но на мен не ми е ясно. Не знам дали ми разбираш въпроса в момента, но просто не виждам от къде идва каквото и да било неравенство в задачата и ако има някакво неравенство, защо от него да следва теоремата на Коши и защо можем да я използваме в случая. Просто не разбирам връзката м/у обяснението ти за Коши, в което се съдържа неравенство и решението на задачата, в което не виждам нищо подобно и не разбирам от къде може да следва.

[tex]ct^2+(2c-1)t+1-2c=0[/tex]
От неравенството на Коши=>[tex]x+\frac{1}{x } \ge 2[/tex], при х>0, [tex]x+\frac{1}{x } \le -2[/tex], при х<0.
Равенство се достига за [tex]x=\pm 1[/tex]
Значи, за да има у-то исканите корени, трябва:
1)[tex]t_1\le -2[/tex] и [tex]t_2\in (-2; 2)[/tex] или
2)[tex]t_1\ge 2[/tex] и [tex]t_2\in (-2; 2)[/tex]

Ето това ми обясни. Просто не разбирам връзката м/у уравнението и втория ред.

А бе, всъщност, ако ми го решиш без Коши, ще го разбера много по-бързо

[1089]

t е сумата на x и реципрочното му, т.е x^2+1=tx или x^2-tx+1=0. D=t^2-4, за t по модул по-малко от 2, уравнението има нереални корени, а за т по модул не по-малко от 2 има реални. мисля че така е ясно. ...

[ptj]

Да карам наред. Първо - не е объркано, проверих, всичко е така. Второ - не сме учили нито теорема на Безу, нито неравенства на Коши, но да приемем, че Безу можем да го ползваме, все пак - ако може, да се довърши задачата докрай, защото не знам как да я продължа нататък, може би е елементарна след като се намерят корените, но не мога.

Трето - имам един въпрос към ptj, не е ли възможно да се разлага на 2 тричлена, от които и двата имат по 1 реален и един нереален корен? Съвсем хипотетичен въпрос, може и да звучи глупаво на някои, но ми е интересно.

Четвърто - allier, ще те помоля да го напишеш, защото стигам до момента, в който gankasimeonova използва неравенствата на Коши, които са ми напълно непознати.

Благодаря на всички за помощта и се извинявам за невежеството си.

На въпроса към мен - когато имаш два реални корена, многочлена от условието на задачата ще се дели на [tex](x-x_1)(x-x_2)[/tex]. Това е квадратен тричлен от втора степен с реални корени.

С теорема на Безу могат да се търсят само рационални корени, а в случая те вероятно са ирационални. Имах желанието да поясня няколко нетрадиционни метода, но явно има хора, на които това им боде в очите.

Колкото до неравенство на Коши:

Ако не го разбираш и знаеш как да изследваш функция,разгледай [tex]f(x)=x+\frac{1}{x }[/tex] при х>0 ( за по-малко е симетрична). Очевидно е, че тя е непрекъсната и има граници + безкрайност при х клонящо към нула или безкрайност. Тогава [tex]f(x)[/tex] има екстремум так където се нулира първата и производна (при условие ,че вторaта е различна от нула).
[tex]f'(x)=1+\frac{-1}{x^2 } =0[/tex]<=>[tex]x=1[/tex] или [tex]x+\frac{1}{x }=2[/tex]

[tex]f''(x)=\frac{2}{x^3 }[/tex] , f''(1)>0 => f(1) локален минимум

От това следва, че при [tex]x>0[/tex] е изпълнено [tex]x+\frac{1}{x }\ge 2[/tex]

[il_dinur]

Уравнението е реципрочно!