Сфера

[Гост]

20250515_084508.jpg (354.33 KiB) Прегледано 361 пъти

[peyo]

20250515_084508.jpg

Зад 7.
Подозирам, че тук търсим обиколката на пространствената окръжност образувана от пресичането на повърхностите на двете сфери. Малко странно да го наречат "линия" мисля. Аз лично бих казал крива по-скоро.

Задачата се свежда да намерим $+y$ в системата:

[tex]\begin{array}{|l} x ^2 + y^2 = 25^2 \\ (x - 36)^2+ y^2 = 29^2 \end{array}[/tex]

$ (x - 36)^2+ 25^2 -x^2 = 29^2$

$ -72x + 36^2+ 25^2 = 29^2$

$ -72x = -1080 $

$ x = 15 $

$15 ^2 + y^2 = 25^2$

$y = \sqrt{25^2-15^2}$

$y=20 = r$

$L = 2 \pi r = 125.66370614359172$

[ammornil]

Още един поглед върху задача 7, но може да не е учено в 10 клас.$\\[12pt] R_{1}=25, R_{2}= 29$. Нека разстоянието между центровете на сферите е $d=36$. Ако построим Декартова координатна система с начало центъра на първата сфера $O_{1}(0, 0 , 0)$, и центърът на втората сфера лежи на оста $\vec{Ox}$, тоест $O_{2}(d,0,0)$, тогава съгласно уравнение на сфера можем да запишем, че $$ \begin{array}{|l} x^{2} +y^{2} +z^{2} = R_{1}^{2} \\ (x-d)^{2} +y^{2} +z^{2}= R_{2}^{2}\end{array}$$ Радиусът на окръжността, която е пресечница на двете сфери, е $$ R_{i}= \sqrt{y^{2} +z^{2}} $$ От системата по-горе, изваждаме от второто първото уравнение и получаваме, че $$ (x-d)^{2} -x^{2} = R_{2}^{2} -R_{1}^{2} \\[6pt] x^{2} -2dx +d^{2} -x^{2} = R_{1}^{2} -R_{2}^{2} \\[6pt] x = \dfrac{d^{2} +R_{1}^{2} -R_{2}^{2}}{2d} $$ Заместваме в първото уравнение на системата и изразяваме $y^{2} +z^{2}$: $$ \left( \dfrac{d^{2} +R_{1}^{2} -R_{2}^{2}}{2d} \right)^{2} +y^{2} +z^{2} = R_{1}^{2} \\[6pt] y^{2} +z^{2} = R_{1}^{2} - \left( \dfrac{d^{2} +R_{1}^{2} -R_{2}^{2}}{2d} \right)^{2} $$ Тогава радиусът на търсената окръжност-пресечница е $$ R_{i}= \sqrt{R_{1}^{2} - \left( \dfrac{d^{2} +R_{1}^{2} -R_{2}^{2}}{2d} \right)^{2}} $$, а търсената обиколка е $$C_{i}= 2\pi{}R_{i} = 2\sqrt{R_{1}^{2} - \left( \dfrac{d^{2} +R_{1}^{2} -R_{2}^{2}}{2d} \right)^{2}}\pi$$Като заместим с даденото и направим изчисленията, получаваме $$ C_{i} =40\pi $$

[peyo]

20250515_084508.jpg

Зад 8.

Това е интересно! Ще се опитаме да решим задачата без чертеж, като мислено си представим елементите. Използввайте отворена книга за улеснение ако искате.

Да построим елементите така, че перпендикуларните равнини са XY и XZ. Тогава хордата с дължина 2 се намира от A(-1,0,0) до B(1,0,0) и тези точки са част от повърхността на сферата. И сега търсим сфера с радиус 7 която лежи на C(0, c,c):

$ x^2 + (y-c)^2 + (z-c)^2 = 7^2$

Слагаме т. A и става:

$ 1 + c^2 + c^2 = 7^2$
$ 2c^2 = 48$
$ c = \sqrt{24}$

И сега знаем, че центъра на едната окръжност w равнината XY са намира в K(0,\sqrt{24},0). Тогава уравнението на тази окръжност в равнината XY е:

$x^2 + (y- \sqrt{24})^2 = r^2$

Слагаме т. А и става:

$1 + (0- \sqrt{24})^2 = r^2$
$1 + 24 = r^2$
$25 = r^2$

$r=5$

Което и е отговора на задачата си мисля.

[ptj]

Странното е, че отговора е правилен, но разбира се има и друг начин за за неговото намиране:

Очевидно е, че равнината определена от центъра на сферата и двете пресечени точки се явява ъглополовяща за двустенния ъгъл между равнините на двете окръжности (заради симетрията), т.е. тя сключва с всяка една от тях ъгъл [tex]45 ^\circ[/tex].
Тогава растоянието между центъра на сферата и средата на хордата може да намерим от Питагорова теорема и то е [tex]\sqrt{7^2-1^2}= \sqrt{48}[/tex].
Отново заради наличието на симетрия ако построим равнина през центровете на двете окръжности и центъра на сферата, то тя ще съдържа и средата на хордата, а 4-те точки ще образуват квадрат с диагонал [tex]\sqrt{48}[/tex],
т.е. разстоянието от центъра на сферата до център на някоя от окръжностите ще е [tex]\sqrt{48}.sin(45 ^\circ ) =\sqrt{24}[/tex].
Понеже отсечката свързваща центъра на една от окръжностите и центъра на сферата се явява перпендикуляр към равнината на окръжноста, то отново можем да приложим Питагорова теорема за намиране радиуса на окръжността :

[tex]r^2= (\sqrt{49})^2-( \sqrt{24} )^2 \Rightarrow r=5[/tex]

П.П. Който му е трудно да си представи всичко трябва да чертае...