O1Q(OQ) и O1P(OP) - перпендикуляри съотв. към AC и BC
[tex]\gamma+ \gamma' + \beta + \beta' = 90^\circ[/tex] => [tex]\gamma+ \beta = 45^\circ[/tex] => [tex]\angle BOA = 135^\circ[/tex]
Cos Th в [tex]\Delta AOB[/tex]: [tex]AB = \sqrt{5 + 10 + \cancel2\frac{\sqrt100}{\cancel2}} = \sqrt{25} = 5[/tex]
sin Th в [tex]\Delta AOB[/tex]: [tex]\frac{\sqrt{10}}{sin\beta'} = \frac{5}{sin{135^\circ}[/tex] <=> [tex]sin\beta' = \frac{\sqrt5}{5} = \frac{1}{\sqrt5}[/tex].
В [tex]\Delta AQO sin\beta = \frac{QO}{\sqrt5}[/tex] => [tex]QO = 1 cm = r[/tex] в [tex]\Delta ABC = OP[/tex]
Първа част на отговора на в) [tex]r = 1[/tex]
Питагор в [tex]\Delta AQO[/tex]: [tex]AQ^2 + 1 = 5[/tex] <=> [tex]AQ = 2[/tex]. По същата аналогия [tex]BP = 3[/tex]
отговор а) [tex]AC = r + QA = 3; BC = r + PB = 4[/tex]
[tex]sin\gamma[/tex] в [tex]\Delta POB[/tex]: [tex]sin\gamma = \frac{r}{\sqrt10} = \frac{\sqrt10}{10}[/tex]
[tex]S_{AOB} = \frac{ab sin\gamma }{2} = \frac{\sqrt{500}}{20} = \frac{\sqrt5}{2}[/tex] е отговора на б)
[tex]sin2\beta = \frac{CB}{AB} = \frac{4}{5}[/tex]
sin Th в [tex]\Delta ABC[/tex]: [tex]\frac{CB}{sin2\beta} = 2R <=> R = \frac{5}{2}[/tex]
Втора част на отговора на в) [tex]R = \frac{5}{2}[/tex]
Относно г). При мен буквите са различни. Нека W е перпендикуляра към AB през О
Тогава се търси дължината на PQ, QW и WP
Първо PQ
Питагор в [tex]\Delta CPQ[/tex]: [tex]1+1=PQ^2[/tex] <=> [tex]PQ = \sqrt2[/tex]
Сега QW
От свойства окръжност [tex]AQ = AW[/tex], от [tex]\Delta ABC[/tex] намирам [tex]cos2\beta[/tex]: [tex]cos2\beta = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}[/tex]
cos Th в [tex]\Delta AQW[/tex]: [tex]QW = \sqrt{4 + 4 - 2.2.2.\frac{3}{5}} = \frac{4\sqrt5}{5}[/tex]
По същата аналогия WP
[tex]cos2\gamma = \frac{CB}{AB}= \frac{4}{5}[/tex]
cos Th в [tex]\Delta PWB[/tex]: [tex]WP = \sqrt{18 - 18.\frac{4}{5}} = \frac{3\sqrt{10}}{5}[/tex]
отговори д) [tex]PQ=\sqrt2; QW = \frac{4\sqrt5}{5}; WP = \frac{3\sqrt{10}}{5}[/tex]
e)
[tex]CT=BT=TA[/tex] по свойство медиана в правоъгълен триъгълник.
=> [tex]\angle ACT = 2\beta[/tex]. Но [tex]2\beta[/tex] няма точен синус, което ме навежда на мисълта, че друг начин няма освен да отвориш таблицата и да го намериш.
[tex]\angle ACT = arcsin(\frac{4}{5}) = 53.130104^\circ[/tex]
останалата част от подточката не е ясно записана. На коя страна лежи N?
Меню
