Ъглополовяща в трапец

[Гост]

В трапеца ABCD , AB = 18, AD= 13.Вътрешната ъглополовяща на [tex]\angle[/tex] A пресича страната BC в т. M.
Ако BM = 10 и CM= 5 да се намери лицето на трапеца ABCD.

[Гост]

Допълнение: AB|| CD, AB>CD ,[tex]\angle[/tex]A<90[tex]^\circ[/tex] Извинявам се!

[Гост]

Продължаваме бедрата AD и BC до пресичането им в точка N. Спускаме височината h в трапеца от точка D и височината H в $\Delta ABN$ от точка $N$. Ъглополовящата AM дели бедрото BC на отсечки $BM=10$ и $MC=5$.

Лице на трапец.png (33.84 KiB) Прегледано 93 пъти

В триъгълник ABN от свойство на ъглополовящата $MN:MB=AN:AB\Rightarrow (NC+5):10=(DN+13):18\Rightarrow9NC=20+5DN$

От $\Delta ABN\sim\Delta DCN\Rightarrow \frac{CD}{AB}=\frac{ND}{AN}=\frac{CN}{BN}\Rightarrow\frac{CD}{18}=\frac{ND}{13+ND}=\frac{CN}{15+NC}$

Получихме системата $\begin{array}{|l}9NC=20+5DN\\CD=\frac{18ND}{13+ND}\\CD=\frac{18NC}{15+NC}\end{array}$

От двата израза за $CD\Rightarrow18ND(15+NC)=18NC(13+ND)$

Като комбинираме с първото уравнение, заместим във второто $DN=\frac{9NC-20}{5}$, получаваме дори уравнение от първа степен за $NC$:

$NC=\frac{30}{7};\ DN=\frac{26}{7}\Rightarrow CD=4$

От $\Delta ABN\sim\Delta DCN\Rightarrow\frac{H}{H-h}=\frac{AB}{CD}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$

Изразяваме лицето на $\Delta ABN$ по два начина - чрез основа и весочина и по Хероновата формула:

$2S_{\Delta ABN}=18H=2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, където $a=BN=BM+MC+CN=10+5+\frac{30}{7}=19\frac{2}{7};b=AN=AD+DN=13+\frac{26}{7}=16\frac{5}{7};c=18\Rightarrow p=\frac{a+b+c}{2}=27$

$18H=2\sqrt{27\cdot\frac{54}{7}\cdot\frac{72}{7}\cdot9}=\frac{8.3^5}{7}\Rightarrow H=\frac{4.27}{7}=\frac{12.9}{7}$

$\frac{H}{H-h}=\frac{9}{2}\Rightarrow\frac{\frac{12.9}{7}}{\frac{12.9}{7}-h}=\frac{9}{2}\Rightarrow\cdots\Rightarrow h=12$

$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{18+4}{2}\cdot12=11.12=132$

Трябва да има и по-кратък начин, но на прима виста това ми хрумна.

[Darina73]

(2 начин) Нека т.K е среда на отс.BM .
През точките M ,K построяваме правите m ,k ,които са ||AB .
Нека правите m ,k пресичат отс. AD съответно в т.[tex]M_{1 }[/tex] , т.[tex]K_{1 }[/tex] .
[tex]\angle[/tex]DAB=[tex]\alpha[/tex]
Да построим [tex]D_{1 }[/tex]BCD -успоредник
___________________________________________
DE=h=? CD=b=? [tex]MM_{1 }[/tex]=m=? [tex]KK_{1 }[/tex]=k=?

[tex]\angle[/tex]BAM=[tex]\angle M_{1 }AM[/tex] (дадено)
[tex]\angle[/tex]BAM=[tex]\angle AMM_{1 }[/tex] (кръстни)
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle М_{1 }АМ[/tex]=[tex]\angle АММ_{1 }[/tex] ,което значи ,че [tex]\triangle AMM_{1 }[/tex] е равнобедрен т.е.
[tex]MM_{1 } =AM_{1 }[/tex] ;m=[tex]\frac{2}{3}[/tex]AD ; m=[tex]\frac{26}{3}[/tex]

По построение [tex]MM_{1 }[/tex] и [tex]KK_{1 }[/tex] са средни отсечки в два трапеца .
[tex]\begin{array}{|l} m = \frac{k+b}{2} \\ k = \frac{AB+m}{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{26}{3} = \frac{k+b}{2} \\ k = \frac{18+ \frac{26}{3} }{2}= \frac{40}{3} \end{array}[/tex]

[tex]\frac{52}{3} =\frac{40}{3}[/tex]+b ;b=4 (1)
([tex]\triangle AD_{1 }D[/tex]-cos T) [tex]DD_{1 } ^{2 } =AD^{2 } + AD_{1 } ^{2 } -2AD.AD_{1}.cos \alpha[/tex]

[tex]15^{2 } =13^{2 } +14^{2 }[/tex]-2.13.14.cos[tex]\alpha[/tex]
cos[tex]\alpha= \frac{5}{13}[/tex] ,тъй като 0<[tex]\alpha[/tex]<90[tex]^\circ[/tex] намираме sin[tex]\alpha = \sqrt{1- \frac{25}{169} }[/tex] ;sin[tex]\alpha= \frac{12}{13}[/tex] (2)
([tex]\triangle[/tex]AED -правоъгълен) sin[tex]\alpha= \frac{DE}{AD} ; \frac{12}{13}= \frac{h}{13}[/tex] ; h=12 (3)

[tex]S_{ABCD } = \frac{(18+4)12}{2}= 132[/tex]

[S.B.]

В трапеца ABCD , AB = 18, AD= 13.Вътрешната ъглополовяща на [tex]\angle[/tex] A пресича страната BC в т. M.
Ако BM = 10 и CM= 5 да се намери лицето на трапеца ABCD.

Без заглавие - 2026-01-25T164932.863.png (290.53 KiB) Прегледано 74 пъти

Ето и още един поглед върху задачата:

Продължавам ъглополовящата $AM$ и горната основа $CD$ до пресичането им в т.$N$
[tex]\triangle ABM \approx \triangle CMN[/tex]
([tex]\angle AMB = \angle CMN[/tex] като връхни ,[tex]\angle CNM = \angle MAB = \alpha[/tex] като кръстни)
[tex]\Rightarrow \frac{AB}{CN} = \frac{MB}{MC} \Leftrightarrow \frac{18}{CN} = \frac{10}{5} \Leftrightarrow \frac{18}{CN} = 2 \Rightarrow CN = 9[/tex]

[tex]\begin{cases} \angle MAB = \angle MNC = \alpha \\ \angle MAB = \angle MAD =\displaystyle \frac{ \angle A}{2} \end{cases} \Rightarrow \angle MAD = \angle MND = \alpha[/tex]

[tex]\Rightarrow \triangle AND[/tex] е равнобедрен и $DN = AD = 13$
[tex]DN = DC + CN \Leftrightarrow 13 = DC + 9 \Rightarrow DC = 4[/tex]
Построявам [tex]CP || AD[/tex] Лесно се доказва,че $APCD$ е успоредник и [tex]AP = CD = 4 \Rightarrow PB = 14[/tex]
За [tex]\triangle PBC[/tex] със страни $PB = 14, BC = 15 , PC = 13$ прилагам формулата на Херон за лице :
[tex]S_{PBC } = \sqrt{21.6.7.8}= 84[/tex]
Построявам [tex]CH \bot PB[/tex]
[tex]S_{PBC } = \frac{1}{2} .PB.CH \Leftrightarrow 84 = \frac{14.CH}{2} \Leftrightarrow 84 = CH.7 \Rightarrow CH = 12[/tex]

[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.CH = \frac{18 + 4}{2} .12 = 11.12[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 132$$