Ъгъл и вътрешна за него точка

[Гост]

Даден е [tex]\angle POQ = 60 ^\circ[/tex] и точка $M$ вътрешна за него.
Ако разстоянието от т.$M$ до рамото $OP$ е 3 см, а до рамото $OQ$ е 4 см да се намери дължината на $OM$

[S.B.]

Даден е [tex]\angle POQ = 60 ^\circ[/tex] и точка $M$ вътрешна за него.
Ако разстоянието от т.$M$ до рамото $OP$ е 3 см, а до рамото $OQ$ е 4 см да се намери дължината на $OM$

Без заглавие - 2026-06-17T160514.173.png (266.65 KiB) Прегледано 12 пъти

Задачата не е трудна и е по силите на всеки десетокласник.Трябва само да си начертае чертежа и внимателно да го разгледа

Построявам [tex]M M_{1 } \bot OP, M_{1 } \in OP, M M_{1 } = 3[/tex]
Построявам [tex]M M_{2 } \bot OQ, M_{2 } \in OQ,M M_{2 } = 4[/tex]
Веднага се вижда , че около четириъгълника [tex]O M_{1 }M M_{2 }[/tex] може да се опише окръжност (ЗАЩО?)
Вижда се и че търсената $OM$ се явява диаметър на тази окръжност.(ЗАЩО?)
Необходим ни е триъгълник вписан в окръжността за който след като приложим Синусова теорема,ще намерим $OM = 2R$
Този триъгълник е [tex]\triangle M_{1 }M M_{2 }[/tex],за който първо ще приложим Косинусова теорема, а после Синусова теорема.
[tex]\angle M_{1 } O M_{2 } = 60 ^\circ \Rightarrow \angle M_{1 } M M_{2 } = 120 ^\circ[/tex]
[tex]M_{1 } M_{2 } ^{2 } = M M_{1 } ^{2 } + M M_{2 } ^{2 } - 2M M_{1 }.M M_{2 }.\cos 120 ^\circ \Leftrightarrow M_{1 } M_{2 } ^{2 } = 3^{2 } + 4^{2 } +2.3.4. \frac{1}{2} = 37[/tex]
$$\Rightarrow M_{1 } M_{2 } = \sqrt{37} $$
Прилагам Синусова теорема за [tex]\triangle M_{1 } M M_{2 }[/tex]
[tex]\frac{ M_{1 } M_{2 } }{\sin120 ^\circ } = 2R \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{37} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = OM[/tex]
След рационализиране получавам:
$$OM = \frac{2 \sqrt{111} }{3} $$