Разпределение на корените на квадратното уравнение

[strangerforever]

Искам да помоля за помощ за една задача, която ме затрудни, а и ми се струва тежка като цяло.

За кои стойности на реалния параметър а всяко решение на неравенството[tex]x^{2} - 3x + 2 < 0[/tex] ще бъде решение и на неравенството [tex]ax^{2} - (3a+1)x + 3 > 0[/tex]

Отг.: [tex]a \in (-\infty; 1/2 ][/tex]

Ще помоля ако някой се захване да я пише, да я доизпише докрай, т.е. решението да не е недовършено, дори и да е елементарно от даден момент нататък. Благодаря предварително.

[ptj]

[tex]x^2-3x+2<0[/tex]
[tex](x-2)(x-1)<0[/tex] <=> [tex]x\in (1;2)[/tex]

[tex]ax^2-(3a+1)x+3>0[/tex]
[tex](ax-1)(x-3)>0[/tex]
Последното е еквивалентно на:
(1)[tex]\begin{cases}
x-3>0 \\
ax-1>0
\end{cases}[/tex] или (2)[tex]\begin{cases}
x-3<0 \\
ax-1<0
\end{cases}[/tex]

Очевидно (1) не се пресича с (1;2) защото от първото уравнение имаме [tex]x>3[/tex].

Ще разгледаме само (2), т.е.:

(2)[tex]\begin{cases}
x<3 \\
ax<1
\end{cases}[/tex]
Първото уравнение от системата (2) е изпълнено за всяко [tex]x\in (1;2)[/tex].
При 1<x<2 ще имаме [tex]x<ax<2x[/tex] .
Тогава за да е изпълнено 2-рото уравнение на (2) е необходимо [tex]ax<2x<1[/tex] , т.е. [tex]x<\frac{1}{2 }[/tex].

Окончателния отговор е [tex]a\in (-\infty;\frac{1}{2 } )[/tex] .

П.П. Може да се реши с използване на графики или с НДУ за разпределение на корените на квадратен тричлен.

[strangerforever]

При 1<x<2 ще имаме [tex]x<ax<2x[/tex] .
Тогава за да е изпълнено 2-рото уравнение на (2) е необходимо [tex]ax<2x<1[/tex] , т.е. [tex]x<\frac{1}{2 }[/tex].

Само това не разбрах, защо при това ще имаме другото и как се стигна до долния ред. И още един въпрос, не е ли а < 1/2, а не x? И още един въпрос, не си ли изтървал на едното място равно, защото 1 и 2 не са включени в интервала, в който искаме да принадлежат корените?

[ptj]

При 1<x<2 ще имаме [tex]x<ax<2x[/tex] .
Тогава за да е изпълнено 2-рото уравнение на (2) е необходимо [tex]ax<2x<1[/tex] , т.е. [tex]x<\frac{1}{2 }[/tex].

Само това не разбрах, защо при това ще имаме другото и как се стигна до долния ред. И още един въпрос, не е ли а < 1/2, а не x? И още един въпрос, не си ли изтървал на едното място равно, защото 1 и 2 не са включени в интервала, в който искаме да принадлежат корените?

Объркал съм буквите.
Правилно е:

При [tex]1<x<2[/tex] и [tex]a>0[/tex] ще имаме [tex]a<ax<2a[/tex] .
Тогава за да е изпълнено 2-рото уравнение на (2) е необходимо [tex]ax<2a \le 1[/tex] , т.е. [tex]a\le \frac{1}{2 }[/tex].

При [tex]a\le 0[/tex] е изпълнено [tex]ax\le 0<1[/tex].

Окончaтелно : [tex]a\in (-\infty;\frac{1}{ 2}][/tex] (нестрого неравенство).