Една интересна задачка

[andrea_doll]

Задачата е следната: В равнобедрен триъгълник ABC ъглополовящите AL и CD се пресичат в точка О. BL=18 и CO:OD=4:3. Да се намери бедрото АС и CD.
Знам, че трябва със свойството на ъглополовящата, но нещо се оплетох и ми станаха 2 неизвестни.

[prodanov]

Верно ли не пише кое е другото бедро на триъгълника?



AC=BC; CD - височина/ъглополувяща/медиана.

CL може да се намери по два+ начина - с Т. ъглополувяща в [tex]\Delta ADC[/tex] и [tex]\Delta ABC[/tex] или с менелай.

[tex]1) \Delta ADC => AC=4y; AD = 3y[/tex]
AD = DB ,щото CD е медиана => DB = 3y

[tex]2) \Delta ABC => CL = 12[/tex].

Втори начин:
Очевидно AOL лежат на една права, все пак е ъглополувяща.=> Менелайчо в [tex]\Delta DBC[/tex]:
[tex]\frac{CO}{OD}.\frac{AD}{AB}.\frac{BL}{LC} = 1[/tex] <=> [tex]CL = 12[/tex]

От тук се намира BC => и AC => и [tex]y[/tex]

Питагор в [tex]\Delta DBC[/tex] , решава се квадратното уравнение и се намира х ,от където и CD.

[andrea_doll]

Да, така пише - намерете бедрото АС и не се знае другото кое е.
Еее, Благодаря Ти много! Щях да питам откъде намери CL, че е 12, но си го сметнах. Мерси!

[andrea_doll]

Нещо не мога да се справя с питагор в триъгълника BDC.
Нали y се получава 7,5 или бъркам? От там BD=3y=3.7,5=22,5
Питагорова- BC на квадрат= BD на квадрат + CD на квадрат
И от тука 900=506,25+49 х на квадрат

[L.e.o]

Няма ли и 2ри случей, при който ВС е основа?

[andrea_doll]

Еми сигурно има, защото се търси едното бедро и не е казано кое е другото

[andrea_doll]

без име.JPG (8.47 KiB) Прегледано 254 пъти

Така ще изглежда ако ВС е основа. Намираме BC=18.2=36 Друго не може.

[prodanov]

Може, може, но стойностите няма да ти харесат.



AL - ъглополувяща/медиана/височина(AB=AC)

Т. ъглополувяща в ADC и ABC

[tex]1) ADC(AO) => AD = 3y; AC = 4y => BD = y[/tex]

[tex]2) ABC(CD) => y=27; <AC,BC> = 4y;[/tex]

Втората част: [tex]CD = +\sqrt{AC.BC - BD.AD}[/tex]

[andrea_doll]

А за това ще ми кажеш ли, че не ми излиза.

Нещо не мога да се справя с питагор в триъгълника BDC.
Нали y се получава 7,5 или бъркам? От там BD=3y=3.7,5=22,5
Питагорова- BC на квадрат= BD на квадрат + CD на квадрат
И от тука 900=506,25+49 х на квадрат

[prodanov]

С дроби е по-лесно.

[tex]9y^2 + 49x^2 = 900[/tex] <=> [tex]\frac{2025}{4} + 49x^2 = 900[/tex] <=> [tex]49x^2 = \frac{1575}{4}[/tex] <=> [tex]28x^2 = 225[/tex] <=> [tex]x = +\sqrt{\frac{225}{28}}[/tex]