Решете уравненията

[preslava123]

[prodanov]

[tex](x-1)\sqrt{x-2}=(x-1)(x-2) :/ (x-1)[/tex](щото [tex]x \ge 2[/tex]) и [tex]\uparrow[/tex]
[tex]x^2 - 5x + 6 = 0[/tex] <=> 2 и 3

Втората стъпка е ненужна, защото [tex]\sqrt n = n[/tex] за 0 и 1, става всичко на ум.

[preslava123]

Нещо не можах да разбера защо делиш на (x-1) и после получаваш (x-1)(x-2) ..

[Toshko96]

Prodanov получава дясната страна като (x-1)(x-2) защото разлага.
[tex]x^2-3x+2[/tex] Това го допълваме до точен квадрат.
[tex]x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+2[/tex]
[tex](x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}[/tex]
[tex](x-\frac{3}{2}-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2}+\frac{1}{2})[/tex]
[tex](x-2)(x-1)[/tex]

[prodanov]

Може и по този начин, аз го разгледах като квадратно уравнение и го реших с факторизация. Ако си 96ти набор, то скоро ще ги учите.

[tex]x^2-3x+2[/tex] <=> [tex]f_1+f_2 = -3; f_1f_2 = 2[/tex]. Да предположим, че факторите са рационални => те са -1 и -2. Правиш проверка(-1.-2=3 и -1-2 = -3) <=> [tex]x^2-3x+2= (x-1)(x-2)[/tex]. От двете страни имаш (x-1) и е сигурно, че [tex]x-1 \ne 0[/tex] => делиш на [tex]x-1[/tex]. Остава [tex]\sqrt{x-2} = x-2[/tex]. Знаеш, че [tex]\sqrt n=n[/tex] при [tex]n={0,1}[/tex] => [tex]x = <2,3>[/tex]. В предишния пост поставих знака \uparrow за да вдигна на втора степен и да реша квадратното уравнение, но има и по-мързелив начин.

С малко упражнения и ти ще почнеш на ум да ги решаваш.

[kerry]

Уравнението има три корена. Губиш единия, като делиш на (x-1)

[prodanov]

Не е вярно! [tex]\sqrt{x-2}[/tex] определя множество на x [tex][2, +\infty)[/tex] => 1 не е решение.

[kerry]

В конкретния случай е така. И реалните корени са два. Но с такива деления трябва много да се внимава.

[preslava123]

Благодаря ви ! Имам последен въпрос от едно друго уравнение :
С полагане на корен квадратен от 2x2+1 + корен квадратен от x-1 ли ще се реши ?

[prodanov]

[tex]\frac{\sqrt{2x^2 + 1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{2x^2+1} - \sqrt{x-1}}=2[/tex] [tex]D:x \ge 1[/tex]

Умножаваш демократа по знаменателя, разменяш комунист за демократ и става:
[tex]\sqrt{2x^2+1} = 3\sqrt{x-1} \uparrow[/tex]

[tex]2x^2+1 = 9x - 9[/tex] <=> [tex]2x^2 - 9x + 10[/tex] с фактори [tex]-2[/tex] и [tex]-\frac{5}{2}[/tex] => и двата корена [tex]\in D[/tex].

[preslava123]

Такива неща все още не сме учили за фактори,демократи и т.н. учили сме методи на интервалите и ..затова попитах как ще се реши дали със полагане

[prodanov]

[tex]\frac{\sqrt{2x^2 + 1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{2x^2+1} - \sqrt{x-1}}=2[/tex]

Определяш дефинционно множество на х, намираш НОК и ги групираш

[tex]D: \begin{tabular}{|l}2x^2 + 1 \ge 0 //\cyr{izpylneno za vsyako x}\\x-1 \ge 0\\ \2x^2+1 \ne x-1 \end{tabular}[/tex] <=> [tex]\begin{tabular}{|l}x \ge 1\\ \2x^2 - x + 2 \ne 0 // D < 0 \cyr{t.e vinagi izpylneno} \end{tabular}[/tex] <=>[tex]x \ge 1[/tex]

НОК: [tex]\sqrt{2x^2+1} - \sqrt{x-1}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{2x^2+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{2x^2+1} - \sqrt{x-1}} = \frac{2\sqrt{2x^2+1} - 2\sqrt{x-1}}{\sqrt{2x^2+1} - \sqrt{x-1}}[/tex] <=> [tex]3\sqrt{x-1}=\sqrt{2x^2+1}[/tex]

Сега разбра ли го? Демократите са десни, комунистите от лявата страна на едно уравнение/неравенство.

Факторизацията е трик от формулите на Виет(9ти клас) за решаване на квадратни/кубична уравнения на ум, ако не го знаеш (описан е по-горе) - карай с дискриминанта.

[tex]2x^2 - 9x + 10[/tex]

[tex]D = 81-80 = 1;[/tex]
[tex]x_1 = \frac{9-1}{4} = 2[/tex]
[tex]x_2 = \frac{9+1}{4} = \frac{5}{2}[/tex]

[preslava123]

Благодаря !