Уравнение с параметър

[preslava123]

Задача със звездичка

корен квадратен от a+x - корен квадратен от a на втора върху а+x (това цялото е под горена и числителя и знаменателя)=корен квадратен от 2a+x
Отговор:При а<0-x1=-2a
При а=0-всяко х е(0 +безкрайност)
При а>0-н.р.

[Martin Nikovski]

[tex]\sqrt{a+x}-\sqrt{\frac{a^2}{a+x}}=\sqrt{2a+x}[/tex]
Определяме дефиниционно множество:
[tex]\begin{tabular}{|l}a+x\ge 0\\\frac{a^2}{a+x}\ge 0\\ a+x\ne 0\\ 2a+x\ge 0 \end{tabular}\ \Rightarrow\ \begin{tabular}{|l}x>-a \\ x\ge -2a \end{tabular}[/tex]
При [tex]a\ge 0[/tex]: [tex]-a\ge -2a\ \Rightarrow\ \cyr{DM}:\ x>-a[/tex]
При [tex]a< 0[/tex]: [tex]-2a> -a\ \Rightarrow\ \cyr{DM}:\ x\ge -2a[/tex]
За да вдигнем уравнението на втора степен и да сме сигурни, че получаваме уравнение, еквивалентно на първоначалното, трябва и двете страни да са неотрицателни [tex](\ge 0)[/tex].
Представяме уравнението в този вид:
[tex]\sqrt{a+x}=\sqrt{2a+x}+\sqrt{\frac{a^2}{a+x}}\ \uparrow ^{\ \ 2}[/tex]
[tex]a+\cancel x=2a+\cancel x+2\sqrt{2a+x}\sqrt{\frac{a^2}{a+x}}+\frac{a^2}{a+x }[/tex]
[tex]2\sqrt{\frac{a^2\left(2a+x\right)}{a+x}}=-a-\frac{a^2}{a+x }[/tex]
[tex]2\left|a\right|\sqrt{\frac{2a+x}{a+x}}=\frac{-a\left(a+x\right)-a^2}{a+x }[/tex]
[tex]2\left|a\right|\sqrt{\frac{2a+x}{a+x}}=\frac{-2a^2-ax}{a+x }[/tex]
[tex]2\left|a\right|\sqrt{\frac{2a+x}{a+x}}=-a.\frac{2a+x}{a+x }[/tex]

Разглеждаме няколко случая:
1. [tex]a=0[/tex]
[tex]2\left|0\right|\sqrt{\frac{2.0+x}{0+x}}=-0.\frac{2.0+x}{0+x }[/tex]
[tex]0=0[/tex], което е изпълнено за[tex]\fbox{x\in\left(0;+\infty\right)}[/tex] (от [tex]\cyr{DM}[/tex]).

2. [tex]a>0\ \Rightarrow\ \left|a\right|=a[/tex]
[tex]2a\sqrt{\frac{2a+x}{a+x}}=-a.\frac{2a+x}{a+x }[/tex] [tex]/:a[/tex]
[tex]2\sqrt{\frac{2a+x}{a+x}}=-\frac{2a+x}{a+x }[/tex]
Полагаме [tex]\frac{2a+x}{a+x}=t[/tex].
[tex]2\sqrt t=-t[/tex], което е изпълнено само при [tex]t=0[/tex].
[tex]t=0\ \Rightarrow\ \frac{2a+x}{a+x}=0\ \Rightarrow\ 2a+x=0\ \Rightarrow\ x=-2a\ \cancel{\in} \cyr{DM}\ \Rightarrow\ \fbox{\cyr{nyama reshenie}}[/tex]

3. [tex]a<0\ \Rightarrow\ \left|a\right|=-a[/tex]
[tex]2.\left(-a\right)\sqrt{\frac{2a+x}{a+x}}=-\left(-a\right).\frac{2a+x}{a+x }[/tex] [tex]/:a[/tex]
[tex]-2\sqrt{\frac{2a+x}{a+x}}=\frac{2a+x}{a+x }[/tex]
Полагаме [tex]\frac{2a+x}{a+x}=t[/tex].
[tex]-2\sqrt t=t[/tex], което е изпълнено само при [tex]t=0[/tex].
[tex]t=0\ \Rightarrow\ \frac{2a+x}{a+x}=0\ \Rightarrow\ 2a+x=0\ \Rightarrow\ \fbox{x=-2a}[/tex] [tex]\in\cyr{DM}[/tex]

[hari]

Мартин, моля те обясни ми от къде идва това:
При [tex]a\ge 0[/tex]: [tex]-a\ge -2a\ \Rightarrow\ \cyr{DM}:\ x>-a[/tex]
При [tex]a< 0[/tex]: [tex]-2a> -a\ \Rightarrow\ \cyr{DM}:\ x\ge -2a[/tex]

Не го разбирам и не се сещам, ако имаш възможност и ти се пише - може ли по-подробно само това.
Ние ли казваме, ако а е по-малко или голяма и къде го заместваме.

[hari]

Първата система на ДМ ми е ясно как се получава и от там нататък - не[quote="Martin Nikovski"][tex]\sqrt{a+x}-\sqrt{\frac{a^2}{a+x}}=\sqrt{2a+x}[/tex]
Определяме дефиниционно множество:
[tex]\begin{tabular}{|l}a+x\ge 0\\\frac{a^2}{a+x}\ge 0\\ a+x\ne 0\\ 2a+x\ge 0 \end{tabular}[/tex]

До тук ми е ясно.
Какво се прави? Пробвам да я решавам тази система и не получавам това, което Мартин е получил.
1. [tex]a+x\ge 0 , x\ge -a[/tex]

2. [tex]\frac{a^{2}}{a+x}\ge 0[/tex] От тук получавам система :[tex]a^{2}\ge 0 ,
a+x>0[/tex]
[tex]x>-a[/tex]
Нещо май тук не става

3. [tex]a+x\ne 0 , x\ne -a[/tex]

4. [tex]2a+x\ge 0 , x\ge -2a[/tex]

[stflyfisher]

1. [tex]a+x\ge 0 , x\ge -a[/tex]

2. [tex]\frac{a^{2}}{a+x}\ge 0[/tex] От тук получавам система :[tex]a^{2}\ge 0 ,
a+x>0[/tex]
[tex]x>-a[/tex]
Нещо май тук не става

3. [tex]a+x\ne 0 , x\ne -a[/tex]

4. [tex]2a+x\ge 0 , x\ge -2a[/tex]

От 1. и 3.:

[tex]x\ge -a; x\ne -a=>x>-a[/tex]

2.
[tex]\frac{a^{2}}{a+x}\ge 0 <=> x\ne -a; a^2(a+x)\ge 0[/tex],

но [tex]a^2\ge 0, \foral a \in R=>a+x \ge 0=>x\ge -a[/tex]

от [tex]x\ne -a[/tex] за 2.[tex]=>x>-a[/tex]

В крайна сметка остава за ДМ, това което Мартин е написал.

[stflyfisher]

При [tex]x>-a=>x\ne -a[/tex].

От Мартин:

DM:[tex]\begin{tabular}{|l}x> -a\\ x\ge -2a \end{tabular}[/tex]

Как се решава тази система относно неизвестното х?
Трябва да се нанесат числата -а и -2а по големина върху числовата ос за х и да се вземе сечението на решенията на двете нер-ва.

Тук идва проблема:
Кое от числата -а и -2а е по-голямо[tex]=>[/tex] ще бъде по-надясно от другото върху числовата ос за х за определяне на ДМ на ур-то.

При [tex]a>0=>0<a<2a ./(-1)<0=>-2a<-a<0[/tex]

При [tex]a<0=>2a<a<0 ./(-1)<0=>0<-a<-2a[/tex]

При [tex]a=0=>0=a=2a ./(-1)=>-a=-2a=0[/tex]

И следователно при различните стоийности за а(>,<, = на 0) се променя и решението за ДМ-то.

[hari]

Много благодаря, това не го знаех.