Помощ за задачи

[strangerforever]

Първо, искам да се извиня за големия брой задачи, за които питам, ще оценя и ако само някои бъдат решени, но просто имам затруднения с тези задачи.
Условието за всички е "Да се реши уравнението".

1 задача:

[tex]\frac{a\sqrt{x} + b }{a\sqrt{x} + b - 2a } = \frac{b\sqrt{x} + a}{b\sqrt{x} - a }[/tex]

Отг.: 1) ако [tex]a \in[/tex] R \ {0,b},[tex]x=1;[/tex] 2) ако а=0 и [tex]b\ne 0, x \in (0,\infty);[/tex] 3) ако [tex]a=b \ne 0, x \in [0;1) \cup (1;\infty)[/tex]

2 задача:

[tex]x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} = \frac{5a^{2}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}} }[/tex]

Отг.: 1) Ако a=0, [tex]x \in (-\infty; 0)[/tex]; 2) ако [tex]a\ne 0, x_{1,2}=\pm \frac{4a}{ 3}[/tex]

3 задача:

[tex]\sqrt{x+a} + \sqrt{x} = a[/tex]

Отг.: 1) Ако [tex]a \in (-\infty ; 0) \cup (0; 1), x \in[/tex] θ; 2) ако [tex]a=0, x=0;[/tex] 3) ако[tex]a \in [1;\infty ), x=(\frac{a-1}{ 2})^{2}[/tex]

Подредил съм ги по затруднението, което изпитах, решавайки ги. За втората имам въпрос само от къде идва 1), защото не можах да го получа.

[baroveca]

Ще се опитам да помогна с трета задача.
[tex]\sqrt{x+a} + \sqrt{x} = a[/tex] Очевидно при [tex]a<0[/tex] уравнението няма решение,защото не можe сбор от два корена да даде отрицателно число.
При а=0 на мястото на а заместваме с 0 и получаваме [tex]\sqrt{x} +\sqrt{x} =0=>x=0[/tex]
При [tex]a\ne 0[/tex] прехвърляме и повдигаме на квадрат
[tex]\sqrt{x+a} =a-\sqrt{x}[/tex] Повдигаме на втора степен
[tex]x+a=a^2-2\sqrt{x}a+x=>a-2\sqrt{x} -1=0=>2\sqrt{x} =a-1=>x=\frac{(a-1)^2}{ 4}[/tex]

[strangerforever]

Добре, първо - не трябва ли да си ги оставим корените отляво, защото при прехвърялен отдясно знакът става минус там и в ДМ ще смятаме с корени? Освен това, не трябва ли да проверим дали корените имат смисъл, т.е. подкоренните им величини да са неотрицателни? Иначе като сметки ясно, че е така, аз заради ДМ я постнах последната задача, с него имам леки затруднения, макар и почти да я решавам, пропускам нещо.

[baroveca]

Добре,нека го напиша така..
[tex]\sqrt{x+a} =a-\sqrt{x}[/tex] ДС: [tex]a\ge \sqrt{x} (1)[/tex]
След като извършим действията получаваме,че [tex]\sqrt{x} =\frac{a-1}{ 2}[/tex] Сега се връщаме в (1) и на мястото на корен от х слагаме полученото и получаваме [tex]a\ge \frac{a-1}{ 2} =>a+1\ge 0=>a\ge -1[/tex] Но при теб в 3) е [tex]a\ge1[/tex] Виж дали си преписал правилно условието в 3)

[strangerforever]

Добре. Не е преписано грешно, така е. Два въпроса отново:

Не трябва ли да провериш какъв е знакът на а-1/2, защото [tex]\sqrt{(\frac{a-2}{ 2} )^{2}} = |\frac{a-1}{ 2}|[/tex]

Освен това, не трябва ли да провериш и x + a да е неотрицателно, за да има смисъл коренът?

Между другото, сега си го сметнах наум и ми излезе точно както си е отговорът, просто трябва да се разгледат 2 случая, защото не знаеш знака на a-1/2.

[ptj]

Добре,нека го напиша така..
[tex]\sqrt{x+a} =a-\sqrt{x}[/tex] ДС: [tex]a\ge \sqrt{x} (1)[/tex]
След като извършим действията получаваме,че [tex]\sqrt{x} =\frac{a-1}{ 2}[/tex] Сега се връщаме в (1) и на мястото на корен от х слагаме полученото и получаваме [tex]a\ge \frac{a-1}{ 2} =>a+1\ge 0=>a\ge -1[/tex] Но при теб в 3) е [tex]a\ge1[/tex] Виж дали си преписал правилно условието в 3)

Допускаш неточност.
От [tex]\sqrt{x} =\frac{a-1}{ 2}[/tex] дефиниционната област се стеснява до [tex]a\ge1[/tex].