Ирационални уравнения

[Paincho]

1) [tex]\frac{\sqrt{2x^{2} +1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{2x^{2} +1} - \sqrt{x-1}} = 2[/tex]

2) [tex]\sqrt{2x^{2}+8x+6} + sqrt{x^{2} - 1}=2x+2[/tex]

Ако може помощ за тези задачи. 1) се опитах да я реша като положих [tex]\sqrt{x-1}=t[/tex], а от там се получава, че [tex]x=t^{2}+1[/tex] , но се получават големи степени и големи числа. Има ли друг начин или моя е правилен и просто съм сбъркал някъде? Благодаря предварително!

[b1ck0]

За първата задача по-скоро опитай да рационализираш знаменателя ...

[martin.nikolov]

За първата задача по-скоро опитай да рационализираш знаменателя ...

Направо да умножи двете страни по знаменателя. Защо да си играе с рационализиране.

[Paincho]

За първата задача по-скоро опитай да рационализираш знаменателя ...

Направо да умножи двете страни по знаменателя. Защо да си играе с рационализиране.

Да, получи се. А ДМ от двата корена ли ще се получи:
[tex]\sqrt{2x^{2} +1}[/tex] всяко Х тука
[tex]sqrt{x-1}[/tex] x≥1

А 2-рата задача как ще се реши ?

[kucheto]

А 2-рата задача как ще се реши ?

[tex]\sqrt{2x^2+8x+6x}+\sqrt{x^2-1}=2x+2\Rightarrow \sqrt{2(x+1)(x+3)}+\sqrt{(x+1)(x-1)}=2x+2[/tex]
Полагаме: [tex]t=x+1\Rightarrow \sqrt{2t(t+2)}+\sqrt{t(t-2)}=2t[/tex]

[Paincho]

Като го реша това у-ние за t ми се получават корени 2 и -18/7 . Като t го заместя с 2 ми се получава х=1 . А с -18/7 ми се получава х=-25/7. Но отговорите в учебника са ±1. Сега ще погледна пак дали аз не съм сбъркал.

[strangerforever]

Като го реша това у-ние за t ми се получават корени 2 и -18/7 . Като t го заместя с 2 ми се получава х=1 . А с -18/7 ми се получава х=-25/7. Но отговорите в учебника са ±1. Сега ще погледна пак дали аз не съм сбъркал.

Защото най-вероятно делиш на [tex]t^2[/tex], което е възможно само при t [tex]\ne[/tex] 0, трябва да разгледаш какво става и когато t = 0, защото така си изтърваш единия корен. Другият корен, който получаваш от квадратното уравнение в последствие, не е решение, защото не принадлежи на ДМ.

ДМ, след смятане и пресичане, се получава:

[tex]x \in[/tex] {-1}[tex]\cup [1; +\infty )[/tex]

[Paincho]

Като го реша това у-ние за t ми се получават корени 2 и -18/7 . Като t го заместя с 2 ми се получава х=1 . А с -18/7 ми се получава х=-25/7. Но отговорите в учебника са ±1. Сега ще погледна пак дали аз не съм сбъркал.

Защото най-вероятно делиш на [tex]t^2[/tex], което е възможно само при t [tex]\ne[/tex] 0, трябва да разгледаш какво става и когато t = 0, защото така си изтърваш единия корен. Другият корен, който получаваш от квадратното уравнение в последствие, не е решение, защото не принадлежи на ДМ.

Да, прав си! Аз деля на t и не се усещам, че така си изпускам корен. Сега ще пробвам без да деля

[Paincho]

....................................
[tex]3t^{2} - 6t = 4t\sqrt{t(t-2)}[/tex]
[tex]9t^{4} - 36t^{3} + 36t^{2} = 16t^{3}(t-2)[/tex]
[tex]9t^{4} - 36t^{3} + 36t^{2} = 16t^{4} - 36t^{3}[/tex]
[tex]9t^{4} - 16t^{4} + 36t^{2}=0[/tex]
[tex]t^{2}(7t^{2}-36)=0[/tex]

[tex]t^{2}=0[/tex] [tex]7t^{2}-36 = 0[/tex]
[tex]t=0[/tex] [tex]t^{2}=\frac{36}{7}[/tex]

Така ли се получава или греша някъде ?

[martin.nikolov]

Това полагане [tex]t=x+1[/tex] е абсолютно ненужно!

[kucheto]

Това полагане [tex]t=x+1[/tex] е абсолютно ненужно!

Що, не?

[kucheto]

....................................
[tex]3t^{2} - 6t = 4t\sqrt{t(t-2)}[/tex]
[tex]9t^{4} - 36t^{3} + 36t^{2} = 16t^{3}(t-2)[/tex]
[tex]9t^{4} - 36t^{3} + 36t^{2} = 16t^{4} - 36t^{3}[/tex]
[tex]9t^{4} - 16t^{4} + 36t^{2}=0[/tex]
[tex]t^{2}(7t^{2}-36)=0[/tex]

[tex]t^{2}=0[/tex] [tex]7t^{2}-36 = 0[/tex]
[tex]t=0[/tex] [tex]t^{2}=\frac{36}{7}[/tex]

Така ли се получава или греша някъде ?

На 3-тия ред си сбъркал: 16.(-2)=-32, ама май и другаде има грешки.

[martin.nikolov]

Това полагане [tex]t=x+1[/tex] е абсолютно ненужно!

Що, не?

А защо да? Помага ли по-някакъв начин?

[kucheto]

А защо да? Помага ли по-някакъв начин?

Съкратяваме с по 2 знака всеки път: + и 1

[strangerforever]

[tex]sqrt{2t(t+2)}+\sqrt{t(t-2)}=2t[/tex] || [tex]( )^2[/tex] [tex](DM: 2x^2 + 8x + 6 \ge 0; x^2 - 1 \ge 0; x + 1 \ge 0)[/tex]
[tex]2t^2 + 4t + t^2 - 2t - 4t^2 = -2\sqrt{2t^2(t+2)(t-2)}[/tex] || (. - 1)
[tex]t^2 - 2t = 2\sqrt{2t^2(t+2)(t-2)}[/tex] || [tex]( )^2[/tex]
[tex]t^4 - 4t^3 + 4t^2 - 4t^4 + 16t^2 = 0[/tex]

За t [tex]\ne[/tex] 0:

[tex]-3t^2 - 4t + 20 = 0[/tex]
Корените са му 2 и [tex]-\frac{10}{ 3}[/tex]
=>
Обратно полагане:
[tex]x_1 = 1; x_2 = - 13/3[/tex]
DM става [tex]x \in[/tex] {-1}[tex]\cup [1; +\infty )[/tex] => [tex]1 \in DM, -\frac{13}{ 3}[/tex] [tex]\notin[/tex] [tex]DM[/tex]

За t = 0:

Няма свободен член => t = 0 е решение => обратно полагане:

[tex]x = -1 \in DM[/tex]

[Paincho]

Да .
При мен се получи така:
Получиха се 3 отговора: t1=0 t2=-18/7 t3=2

От t1 излиза x1=-1
От t2 излиза x2=-32/7 , но не попада в ДМ
От t3 излиза x3=1

Трябва ли да правя проверка сега за 1 и -1 ?

[strangerforever]

Да .
При мен се получи така:
Получиха се 3 отговора: t1=0 t2=-18/7 t3=2

От t1 излиза x1=-1
От t2 излиза x2=-32/7 , но не попада в ДМ
От t3 излиза x3=1

Трябва ли да правя проверка сега за 1 и -1 ?

Като си сметнеш ДМ и напишеш колко е, това е достатъчно в случая да кажеш, че принадлежат в ДМ.