задача по геометрия

[brasilo2]

Окръжност к с център I е вписана в триъгълник ABC.Да се докаже ,че центъра на описаната около триъгълника BCI окръжност лежи на AI.

[ptj]

Нека [tex]k(O,r)[/tex] е описаната около ▲[tex]ABC[/tex] окръжност. Нека също [tex]AI\cap k=[/tex]{т.[tex]M[/tex]}. Ще покажем, че т.[tex]M[/tex] е център на описаната около▲[tex]ICM[/tex] окръжност.
Д-во:
Центъра на вписаната окръжност е пресечена точка на ъглополовящите.
Тогава [tex]\widehat{MC}=\widehat{MB}[/tex] (дъги).
[tex]\angle MCB=\frac{1}{2 }. \widehat{MB}=\frac{1}{ 2} .\widehat{MC}=\angle MBC[/tex] => [tex]MC=MB[/tex]
Да означим ъглите на ▲[tex]ABC[/tex] съответно с [tex]\alpha ,\beta ,\gamma[/tex].
[tex]\angle MIB=\angle IAB+\angle IBA=\frac{\alpha }{ 2} +\frac{\beta }{2 }[/tex] (външен ъгъл за ▲).
[tex]\angle CBI=\frac{\beta }{2 }[/tex]
[tex]\angle CBM=\frac{1}{ 2} .\widehat{MC}=\angle CAM=\frac{\alpha }{2 }[/tex]
От последните 2 реда =>[tex]\angle IBM=\frac{\alpha }{2 } + \frac{\beta }{2 }[/tex]
т.е. [tex]\angle MIB=\angle MBI[/tex] => [tex]MI=MB[/tex]
Получихме, че [tex]CM=IM=BM[/tex] <=> т.[tex]M[/tex] e център на описаната около ▲[tex]CIB[/tex] окръжност.

П.П. Извинявам се за корекциите, но в моя чертеж бях означил първоначално т.[tex]M[/tex] с т.[tex]O[/tex].

[brasilo2]

ms mn