Интересна задачи за подготовка за състезание

[brasilo2]

и за домашно разбира се
1)Да се намерят всички стойности на [tex]x[/tex],за всяка от които неравенството:
[tex](a+2)x^ {3}-(1+2a)x^{2}-6x+a^{2}+4a-5>0[/tex]
е изпълнено за поне една стойност на [tex]a[/tex] от интервала [tex][-2;1][/tex].
2)Да се намери най-голямата стойност на параметъра [tex]а[/tex],за която функцията :
[tex]f(x)=ax^{2}+3ax+1[/tex] в интервала [tex][-3;0][/tex] удовлетворява неравенството;
[tex]|f(x)|\le 1[/tex].

[ptj]

1. Решаваш я като квaдратно уравнение спрямо [tex]a[/tex].

2. Стандарто изследване с първа производна. Тъй като функцията е непрекъсната може да проверяваш само дали:
[tex]|f(3)|\le1[/tex] и [tex]|f(-\frac{3}{2 })|\le1[/tex]

[strangerforever]

Ще помоля за отговори на задачите, ако ги имаш.

ptj, в 10-ти клас, по стария материал, не се учат производни.

[ptj]

Ако до утре никой не ги е написал, ще ги драсна. Сега имам други ангажименти.

П.П. Втората става и с разпределение на корените на квадратно уравненние. Или просто да използваш, че [tex]f(x)=a(x+\frac{3}{2 })^2+(1-\frac{9a}{4 })[/tex]

[strangerforever]

Ако до утре никой не ги е написал, ще ги драсна. Сега имам други ангажименти.

П.П. Втората става и с разпределение на корените на квадратно уравненние. Или просто да използваш, че [tex]f(x)=a(x+\frac{3}{2 })^2+(1-\frac{9a}{4 })[/tex]

С какво ще ни помогне това? Първата е сравнително лесна, ще те помоля, когато имаш време, да изпишеш втората с разпр. на корените на квадратния тричлен, защото ми е интересна

[ptj]

2)Да се намери най-голямата стойност на параметъра [tex]а[/tex],за която функцията :
[tex]f(x)=ax^{2}+3ax+1[/tex] в интервала [tex][-3;0][/tex] удовлетворява неравенството;
[tex]|f(x)|\le 1[/tex].

Ще ти покажа как става с разпределение на корените.

Имаш [tex]-1\le f(x)\le1[/tex], т.е.
[tex]-1\le ax^{2}+3ax+1 \le1[/tex].

Горното 2-но неравенство ще го запишем с две отделни:
(1) [tex]ax^{2}+3ax+1-1 \le0[/tex] <=> [tex]g(x)=ax^{2}+3ax \le0[/tex],

(2) [tex]ax^{2}+3ax+1+1 \ge0[/tex] <=> [tex]h(x)=ax^{2}+3ax+2 \ge0[/tex]

Сега задачата е еквивалента на : (1) и (2) да са изпълнени за целия интервал [-3;0].


1.сл.) [tex]a=0[/tex] => [tex]f(x)=1>0[/tex] (изпълнено е и за [-3;0] )

2.сл.) [tex]a<0[/tex] oтпада заради специфичното условие за най-голяма стойност на параметъра (вече имаме решение 0)

2.сл.) [tex]a>0[/tex]

Корените на [tex]g(x)[/tex] са -3 и 0 сл. (1) е изпълнено за интервала [-3;0]

Да разгледаме сега [tex]g(x)[/tex]. Неговата дискриминанта е [tex]9a^2-8a[/tex]. Тя е неотрицателна когато [tex]a \in [0;\frac{8}{9 }][/tex]
...

P.P. По-късно ще довърша.