Опростете израза

[Paincho]

[tex]L=\sqrt[3]{\frac{2x^{2}}{9+ 18x + 9x^{2}}[/tex].[tex]\sqrt{\frac{(1+x)\sqrt[3]{1-x}}{x}}[/tex].[tex]\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{1-x^{2}}}{2x\sqrt{x}}}[/tex]

[strangerforever]

Първо, ДМ:
[tex]1-x^2 \ge 0 <=> x \in [-1;1][/tex]
[tex]x \ge 0[/tex]
[tex](1+x)\frac{\sqrt[3]{1-x} } {x} \ge 0 <=> (1+x)\sqrt[3]{1-x}.x \ge 0 <=> x \in (0;1][/tex]
[tex]x \ne 0[/tex]
[tex]1 + x \ne 0[/tex]
Общо: [tex]x \in (0;1][/tex]

Към израза:

[tex]L=\sqrt[3]{\frac{2x^{2}}{9+ 18x + 9x^{2}}[/tex].[tex]\sqrt{\frac{(1+x)\sqrt[3]{1-x}}{x}}[/tex].[tex]\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{1-x^{2}}}{2x\sqrt{x}}}[/tex]

При ДМ, което сме определили, всичките подкоренни величини са неотрицателни => можем да си вдигнем на четна степен коренния показател и подкоренната величина без да изкарваме минус.

[tex]L=\sqrt[6]{\frac{4x^{4}}{81(1+x)^4}[/tex].[tex]\sqrt[6]{\frac{(1+x)^3.(1-x)}{x^3}}[/tex].[tex]\sqrt[6]{\frac{9.(1-x^{2})}{4x^2.x}}[/tex]

Съкращаваш наред (вече сме определили ДМ за всичко, което се съкращава, така че няма проблем)

Остава

[tex]L = \sqrt[6]{\frac{(1-x)^2}{9x^2}}[/tex] <=> [tex]L = \sqrt[3]{\frac{1-x}{3x}}[/tex]