ирационално

[sisika]

Тази гад не мога да я реша.
[tex]\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}[/tex]+[tex]\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x^2}-\sqrt[3]{x^2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{3 }[/tex]

[tex]\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x^2}-\sqrt[3]{x^2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{3 }[/tex]

[tex]6\sqrt{x}[/tex]=[tex]{\sqrt{x^2}-\sqrt[3]{x^2}[/tex]

[tex]6\sqrt{x}[/tex] - [tex]{\sqrt{x^2}+\sqrt[3]{x^2}=0[/tex]

И от тук не знам как да положа. Пробвах варианти, ама не се получават. Коренът е 64

[ptj]

За да се излъжеш и двете степени полагаш [tex]x=y^6 (y>0)[/tex].
[tex]\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}[/tex]+[tex]\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex]

[tex]\frac{1}{y^3+y^2 }+ \frac{1}{y^3-y^2 }=\frac{1}{3 }[/tex]

[tex]\frac{1}{y^2 }(\frac{1}{y+1 } + \frac{1}{y-1})=\frac{1}{3 }[/tex]

[tex]\frac{2}{y(y^2-1) }=\frac{1}{3 }[/tex]

[tex]y^3-y-6=0[/tex]

[tex](y-2)(y^2+2y+3)=0[/tex]

[tex](y-2)\big((y+1)^2+2)\big)=0[/tex] => [tex]y=2[/tex] => [tex]x=2^6=64[/tex]

[strangerforever]

[tex]6\sqrt[6]{x^3} - \sqrt[6]{x^6} + \sqrt[6]{x^4} = 0[/tex]
[tex]\sqrt[6]{x^3}(6 - \sqrt[6]{x^3} + \sqrt[6]{x}) = 0[/tex]
Полагаме [tex]\sqrt[6]{x} = y \ge 0[/tex]
[tex]y^3(6 - y^3 + y) = 0[/tex]
[tex]y^3(6 - y^3 + 2y^2 - 2y^2 + 4y - 3y) = 0[/tex]
[tex]y^3(-(y-2)(y^2 + 2y) -(y-2)3) = 0[/tex]
[tex]y^3(-(y-2)(y^2 + 2y + 3)) = 0[/tex]
[tex]y_1 = 0 => x_1 = 0 \notin DM[/tex]
[tex]y_2 = 2 => x_2 = 64 \in DM[/tex]
[tex]y_{3,4} \in C[/tex]

[sisika]

Ако не ти представлява трудност - може ли да ми погнеш - тук
[tex]5\sqrt[15]{x^22}+\sqrt[15]{x^14\sqrt{x}}[/tex]=[tex]22\sqrt[15]{x^7}[/tex]

Не знам защо цифрите са нещо гърчави
В превод - хикс на степен 22
хикс на степен 14

[sisika]

Междувременно предната я реших - точно по метода на strangerforever, ама голямо чудене - докато се сетя да изравня коренните показатели. В тая пак се пробвах - по същия метод - ама достигнах до 30 степен и се отказах

[strangerforever]

Ако не ти представлява трудност - може ли да ми погнеш - тук
[tex]5\sqrt[15]{x^22}+\sqrt[15]{x^14\sqrt{x}}[/tex]=[tex]22\sqrt[15]{x^4}[/tex]

Не знам защо цифрите са нещо гърчави
В превод - хикс на степен 22
хикс на степен 14

В последния корен x-ът е на 7 степен. Задачата е от сборника на К. Коларов, някъде от последните беше и съм я решавал пред няколко седмици.

[sisika]

да, грешката е моя, оправих я, но не мога да я реша

[ptj]

Ако не ти представлява трудност - може ли да ми погнеш - тук
[tex]5\sqrt[15]{x^22}+\sqrt[15]{x^14\sqrt{x}}[/tex]=[tex]22\sqrt[15]{x^4}[/tex]

Не знам защо цифрите са нещо гърчави
В превод - хикс на степен 22
хикс на степен 14

Едното решение е [tex]x=0[/tex].

При [tex]x\ne 0[/tex]:

[tex]5x^{\frac{22}{15 }} +x^{\frac{29}{30 }}=22x^{\frac{4}{15 }}[/tex]

Съкращаваме на [tex]x^{\frac{4}{15 } }[/tex] и получаваме:

[tex]x^{\frac{7}{10 }} +5x^{\frac{6}{5 }}=22[/tex]

Чрез софтуер намирам решението. То е само едно, защото функцията отляво на равeнството е растяща, а от дясно е константа. [tex]x=3.14437[/tex]

П.П. Ако ти се занимава трябва да решиш :

[strangerforever]

Делиш на [tex]\sqrt[15]{x^7}[/tex], с което губиш корен 0, т.е. делиш при x различно от 0, като отделно си разглеждаш какво става и при x = 0 и с директна проверка виждаш, че е корен.

Остава

[tex]5x + x^{\frac{7}{15}} = 22[/tex]
[tex]5x + \sqrt{x} - 22 = 0[/tex]
[tex]\sqrt{x}_1 = 2 => x = 4[/tex]
[tex]\sqrt{x}_2 = -\frac{11}{5} \notin DM[/tex]

[ptj]

да, грешката е моя, оправих я, но не мога да я реша

Така кажи бе човек.

Очевидно едното решение е [tex]x=0[/tex].

При [tex]x\ne 0[/tex]:

[tex]5x^{\frac{22}{15 }} +x^{\frac{29}{30 }}=22x^{\frac{7}{15 }}[/tex]

[tex](5\sqrt{x} +1)x^{\frac{29}{30 }}=22x^{\frac{14}{30 }}[/tex]

Съкращаваме на [tex]x^{\frac{14}{30 } }[/tex] и получаваме:

[tex](5\sqrt{x} +1)x^{\frac{15}{30 }}=22[/tex]

[tex](5\sqrt{x} +1)\sqrt{x} =22[/tex]

[tex]5x+sqrt{x}-22=0[/tex]

[tex](\sqrt{x}-2)(5\sqrt{x}+11)=0[/tex]

[tex]\sqrt{x}=2[/tex] => x=4

Окончателно: [tex]x_1=0[/tex] и [tex]x_2=4[/tex].

[sisika]

Много благодаря

[strangerforever]

[tex]5x+sqrt{x}-22=0[/tex]

[tex](\sqrt{x}-2)(5\sqrt{x}+11)=0[/tex]

Каквото и да решавам, никога не мога да го разложа така на множители... Ако можеш да обясниш логиката, по която се сещаш на какви точно множители да го разложиш, ще съм ти много благодарен.

[ptj]

[tex]5x+sqrt{x}-22=0[/tex]

[tex](\sqrt{x}-2)(5\sqrt{x}+11)=0[/tex]

Каквото и да решавам, никога не мога да го разложа така на множители... Ако можеш да обясниш логиката, по която се сещаш на какви точно множители да го разложиш, ще съм ти много благодарен.

Имаш [tex](ax+b)(cx+d)=5x^2+x-22[/tex]
[tex](ac)(bd)=-110=-10.11=(ad)(bc)[/tex] и [tex](ad)+(bc)=1[/tex],
т.е. [tex]ad=10[/tex] и [tex]bc=-11[/tex]
Освен това [tex]ac=5[/tex] и защото числото е просто единия множител е [tex]1[/tex], а другия [tex]5[/tex].
[tex]a=1[/tex] , [tex]c=5[/tex] => [tex]b=2[/tex], [tex]d=-11[/tex]

П.П. Това е метода на неопределените коефициенти.