Система

[strangerforever]

Да се реши системата

[tex]|log_ax| <1[/tex]
[tex]\frac{n}{1-log_ax} > \frac{1}{log_ax}[/tex],

където [tex]a>1[/tex] и [tex]n \in N[/tex].

Отг. [tex]x \in (\frac{1}{a}; 1) \cup (\sqrt[n+1]{a}; a).[/tex]

[ptj]

Да се реши системата

[tex]|log_ax| <1[/tex]
[tex]\frac{n}{1-log_ax} > \frac{1}{log_ax}[/tex],

където [tex]a>1[/tex] и [tex]n \in N[/tex].

Отг. [tex]x \in (\frac{1}{a}; 1) \cup (\sqrt[n+1]{a}; a).[/tex]

Първото е еквивалентно на:
[tex]-1<\log_ax<1[/tex] <=> [tex]a^{-1}<x<a[/tex]

Второто:

[tex]n>\frac{1-log_ax}{log_ax }[/tex]
[tex]n+1>\frac{1}{log_ax }[/tex]

a.) при [tex]x<1[/tex]
[tex](n+1)log_ax<1[/tex]

[tex]log_a(x^{n+1})<1[/tex]

[tex]\frac{1}{x^{n+1} }<a[/tex]

[tex]x<\sqrt[n+1]a[/tex]

понеже [tex]1<\sqrt[n+1]{a}[/tex], то [tex]x\in (\frac{1}{a };1)[/tex]

б.) при x>1
[tex](n+1)log_ax>1[/tex]
[tex]x^{n+1}>a[/tex]
[tex]x>\sqrt[{n+1}]a[/tex]
тъй като [tex]1<\sqrt[n+1]a[/tex], то [tex]x \in (\sqrt[{n+1}]a;a)[/tex]

Окончателно: [tex]\bigg(x \in (\sqrt[{n+1}]a;a)\bigg) \cup[/tex][tex]\bigg(x\in (\frac{1}{a };1)\bigg)[/tex]