Опростете израза

[BanditoII]

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }[/tex] + [tex]\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }[/tex]

Моля ви, помогнете ми с този израз. Благодаря!

[stflyfisher]

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }[/tex] + [tex]\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }[/tex]

Моля ви, помогнете ми с този израз. Благодаря!

Според мен изразът е:

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }.\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }[/tex]

[kerry]

Според мен изразът е:

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }.\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }[/tex]

А защо не продължиш?

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }.\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5}).(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=-1[/tex]

Въпреки, че това не е верен отговор.

[stflyfisher]

Според мен изразът е:

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }.\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }[/tex]

А защо не продължиш?

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }.\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5}).(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=-1[/tex]

Въпреки, че това не е верен отговор.

Не продължих, защото предполагах че е така и не знам дали 100% е така и сега.
Защо да не е верен отговор твоето решение?

[kerry]

Ето две решения:

Първо решение

[tex]\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex]\varphi^3=2+\sqrt{5}[/tex]

[tex](1-\varphi)^3=2-\sqrt{5}[/tex]

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = \varphi +(1- \varphi) = 1[/tex]


Второ решение

[tex]x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex]

[tex]x^3= 4+3.\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}. \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} .(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})[/tex]

[tex]x^3=4-3x[/tex]

[tex]x^3+3x-4=0[/tex]

[tex](x-1)(x^2+x+4)=0[/tex]

В десните скоби няма реален корен. Остава x=1.

[stflyfisher]

Предположението ми се оказа грешно . Наистина задачата е:

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }+\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }[/tex]

Справка: "Математика 10 клас", Г. Паскалев, Здр. Паскалева, стр. 87/ зад.17 в).

И двете решение са верни, но второто ми допада повече.

За първото решение лесно се досеща за полагането, ако се решил преди това стр. 87/ зад.17 а)(или/и б))

[strangerforever]

Ето две решения:

Първо решение

[tex]\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex]\varphi^3=2+\sqrt{5}[/tex]

[tex](1-\varphi)^3=2-\sqrt{5}[/tex]

[tex]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = \varphi +(1- \varphi) = 1[/tex]


Второ решение

[tex]x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex]

[tex]x^3= 4+3.\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}. \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} .(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})[/tex]

[tex]x^3=4-3x[/tex]

[tex]x^3+3x-4=0[/tex]

[tex](x-1)(x^2+x+4)=0[/tex]

В десните скоби няма реален корен. Остава x=1.

Забележка: При второто има нужда от проверка за чужди корени.