Домашно за подготовка за КЛАСНО

[@unReal@]

Това е малка част от задачите ми за домашно, но точно тези не са ми много ясни:
Задача1.Да се наметят стойности на а,за които уравнението [tex](a-1)cos^2 x-(a^2+a-2)cosx+2a^2-4a+2=0[/tex] има повече от едно решания в [0;[tex]\frac{4\pi }{3 }[/tex] ]
Задача2.Да се намерят стойности на параметъра а ,за които уравнението
[tex]2^{-x^2}.4^x+sin(\frac{x\pi }{4}) +cos(\frac{x\pi }{ 4})-2=a^3-3a^2+a+\sqrt{2}[/tex] има точно едно решение.

[ganka simeonova]

2 зад. Нека ф-та в дясно е [tex]f(x)[/tex]

[tex]2^{-x^2}4^x=2^{-x^2+2x}[/tex] НГС на [tex]-x^2+2x=1[/tex] и се достига при [tex]x=1[/tex]

Тогава [tex]2^{-x^2}4^x=2^{-x^2+2x}\le 2^1=2[/tex]

[tex]sin{\frac{\pi x}{ 4} }+cos{\frac{\pi x}{ 4}} \le \sqrt{2}[/tex], като равенство ще се достигне също при [tex]x=1[/tex]

Тогава [tex]f(x)\le 2+\sqrt{2} -2=f(1)=\sqrt{2}[/tex]
Тогава дясната страна, която е константа и графиката и е парва линия, успоредна на оста х, трябва да е равна на[tex]\sqrt{2}[/tex]=>

[tex]a^3-3a^2+a+\sqrt{2} =\sqrt{2}=>a(a^2-3a+1)=0...[/tex]

[@unReal@]

Много благодаря!!!Тази задача май ми се проясни напълно!Бих бил изключително благодарен, ако получа помощ и за първата.

[ganka simeonova]

Ще се опитам да помогна за 1) зад. Ще помоля обаче, ако нещо бъркам в разсъжденията си, някой да ми помогне
1) Разложи всички квадратни тричлени спрямо а на множители. Тогава ще получиш общ множител (а-1).
Ясно е, че при а=1, у-то ще има безброй много решения=> и повече от едно в дадения интервал. Значи а=1 е едно от р-та на задачата.
Да разделим на (а-1) и да положим [tex]cosx=t\in [-1; 1][/tex]
Ще получим у-то [tex]t^2-(a+2)t+2(a-1)=0[/tex] Дискриминантата е положителна винаги.
Сега обаче, ако [tex]t\ge 0[/tex], следва че в дадения интервал косинусът ще приема всяка своя неотрицателна стойност само по един път и това ще е в интервала [tex][0; \frac{\pi }{ 2} ][/tex]
Ако [tex]t\in (-\frac{1}{2 } ; 0)[/tex], пак в дадения интервал косинусът[tex]\frac{\pi }{2 }<cosx<\frac{3\pi }{ 2}[/tex] ще приема всяка своя стойност само по един път.
И понеже интервалът [tex][\frac{2\pi }{ 3} ; \frac{4\pi }{3 }][/tex], e симетричен спрямо отрицателната Ох, в него косинусът ще повтори всяка своя стойност от [tex][-\frac{1}{ 2} ; -1)[/tex]
Това означава, че [tex]t\in [-\frac{1}{ 2} ; -1)[/tex]
Тогава според мен задачата се свежда до разпределение на корените на квадратно у-е. За кое [tex]t: t\in [-\frac{1}{ 2} ; -1)[/tex]

[@unReal@]

Ами на мен ми се струва достоверно, но не разбирам това:"Тогава според мен задачата се свежда до разпределение на корените на квадратно у-е. За кое [tex]t: t\in [-\frac{1}{ 2} ; -1)[/tex]".Как разпределяме,че да изкараме а.

[allier]

Вярно е решението. На мен ми трябваше все пак да се убедя, че не може да има два корена в [tex](-\frac{1}{2 }, 1][/tex] и наистина излиза, че не може. Като се сведе до поне един корен в [tex](-1,-\frac{1}{2 }][/tex] вече се разбива за по-лесно на два случая:
1. Ако [tex]t=-\frac{1}{2 }[/tex] е корен, то [tex]a=\frac{3}{10 }[/tex] е решение.
2. Ако трябва да има поне един корен в [tex](-1,-\frac{1}{2})[/tex], то или [tex]f(-1).f(-\frac{1}{2})<0[/tex], или [tex]f(-1)>0,f(-\frac{1}{2})>0,\frac{a+2}{2 }\in(-1,-\frac{1}{2})[/tex], където [tex]f(x)[/tex] е квадратното уравнение. Това вече го решаваш за a и обединяваш двата интервала.
Накрая, добавяш вече намерените две решения 1 и [tex]\frac{3}{10 }[/tex].

[@unReal@]

Благодаря за отделеното време!!!Вчера беше един успешен ден (реших доста задачи),но в процеса на работа забих на тази:
Задача18(от същата поредица).Да се намерят всички стойности на b,за които нер. [tex]\sqrt[4]{6b^2-4bx+x^2}+\sqrt[4]{5+4bx-6b^2-x^2}\ge \sqrt[4]{\frac{75}{ 2}-b\sqrt{5}+|y-2b^2|+|y-b\sqrt{5}-5|}[/tex]
има точно едно решение.

[allier]

Тази е хубава задача. Забележи, че ако x е решение, то и 4b-x също е решение (понеже навсякъдето където има x, има [tex]x^2-4bx[/tex], което приема една и съща стойност за x, и за 4b-x). Тогава за да има единствено решение, е необходимо x=2b.

Сега, същото нещо за y. Ако y е решение, то [tex]2b^2+b\sqrt{5}+5-y[/tex] също е решение (въобще, графиката на [tex]|y-A|+|y-B|[/tex] е симетрична спрямо [tex]\frac{A+B}{2 }[/tex]). Следователно, е необходимо [tex]y=\frac{2b^2+b\sqrt{5}+5}{2 }[/tex].

Оттук вече заместваш и намираш стойностите на b, след което ти трябва и една обратна проверка, че изпълняват условието.

[@unReal@]

В смисъл да заместя x=2b и y=...... в неравенството и стойностите които получа (ако успея да го сметна) ще са решенията.Така ли ??

[allier]

Да, замести тези стойносто в условието и виж какво се получава за b.

[@unReal@]

Днес май не ми върви!Замествам,но не получавам нищо добро(не мога да се отърва от корен четвърти(втори)).Моля да ми помогнете за изчислението.Може би аз бъркам, ама не ми излиза нищо конкретно!

[allier]

Добре. След като заместиш, не разкривай никакви скоби или корени. Докажи, че лявата страна на неравенството е по-малка или равна на корен четвърти от 40. След това докажи, че дясната е по-голяма или равна на корен четвърти от 40. Най-накрая провери, че равенство се достига само когато [tex]2b^2=\frac{5}{2 }[/tex].

[@unReal@]

Много благодаря!!!Ще го направя!Задължен съм ти!