Показателно уравнение 3^{x}.8^{\frac{x}{x+2}}=6

[hari]

Имам още едно неясно уравнение

[tex]3^{x}.8^{\frac{x}{x+2}}=6[/tex]

[tex]3^{x}.2^{\frac{3x}{x+2}}=3.2[/tex]

и съм до тук - какво да го правя този дробен степенен показател

[inveidar]

Представи 8=2.2.2=[tex]2^{3}[/tex] и 6=2.3 . След това повдигни на степен и остави тройките от едната страна а двойките от другата. Ще трябва да стигнеш до
[tex]3^{x-1}=2^{\frac{-2(x-1)}{x+2 }}[/tex]
Сега логаритмуваш при основа 2 или 3 или 10, ако искаш. После смяташ хикса. Между другото тази задача я има в учебника за 10 клас на Анубис.

[hari]

Абсолютно ми е неясно

[sisoko15]

1 начин [tex]3^x.8^{\frac{x}{x+2}}=6[/tex]
[tex]3^x.2^{\frac{3x}{x+2}}=2.3[/tex]
[tex]\frac{3^x}{3}=\frac{2}{2^{\frac{3x}{x+2}}}[/tex]
[tex]3^{x-1}=2^{1-\frac{3x}{x+2}}[/tex] логаритмуваме с основа 3
[tex]log_33^{x-1}=log_32^{1-\frac{3x}{x+2}}[/tex]
[tex]x-1=(1-\frac{3x}{x+2}).log_32[/tex] разкриваш скобите... дискриминанта и т.н.
2 начин
[tex]3^x.8^{\frac{x}{x+2}}=6[/tex]
[tex]3^x.2^{\frac{3x}{x+2}}=2.3[/tex]
[tex]\frac{3^x.2^{\frac{3x}{x+2}}}{2.3}=1[/tex]
[tex]3^{x-1}.2^{\frac{3x}{x+2}-1}=1[/tex]
[tex]3^{x-1}.2^{\frac{2(x-1)}{x+2}}=1[/tex]
[tex](3.2^{\frac{2}{x+2}})^{x-1}=1[/tex]
1) [tex]x-1=0[/tex]
2)[tex]3.2^{\frac{2}{x+2}}=1[/tex]
3) [tex]3.2^{\frac{2}{x+2}}=-1[/tex], и условието е х-1 трябва да е четно.

[inveidar]

3) [tex]3.2^{\frac{2}{x+2}}=-1[/tex], и условието е х-1 трябва да е четно.

Този случай е невъзможен, защото в лявата страна стои положително число, а дясната страна е отрицателна.

[mp3]

Уравнението решаваме при ДС [tex]x\ne-2[/tex]
[tex]3^{x} . (2^{3})^{\frac{x}{x+2} } = 2.3[/tex], делим на 2.3=6
[tex]\frac{3^{x}}{ 3} . \frac{2^{\frac{3x}{x+2}}}{2} = 1[/tex]
[tex]3^{x-1}.2^{\frac{3x}{x+2}-1} = 1[/tex]
[tex]3^{x-1}.2^{\frac{3x-x-2}{x+2}} = 1[/tex]
[tex]3^{x-1}.2^{\frac{2x-2}{x+2}} = 1[/tex]
[tex]3^{x-1}.2^{\frac{2(x-1)}{x+2}} = 1[/tex], логаритмуване на уравнението при произволна основа, нека да е 3
[tex](x-1) + \frac{2(x-1)}{x+2}. log_{3}2 =log_{3 } 1 = 0[/tex],
Освобождаваме се от знаменателя и изнасяме (x-1) пред скоби.
[tex](x-1) . ( (x+2) + 2.log_{3}2 )= 0[/tex]
[tex](x-1) =0[/tex] или [tex](x+2) + 2.log_{3}2 = 0[/tex]
[tex]x = 1[/tex] или [tex]x=-2 - 2.log_{3}2 =-2.(1+ log_{3}2) = -2.(log_{3}3 +log_{3}2)= -2. log_{3}6[/tex]

Окончателно [tex]x_{1} = 1, x_{2}= -2. log_{3}6[/tex]