Показателни уравнения-малко помощ :(

[preslava123]

Здравейте!Попаднах на една задача в която има показателни уравнени..но не мога да получа нищо от отговорите..Нужна ми е помощ,благодаря ви предварително!

1.Решете уравнението:

[MasterZ]

а) като видя това уравниние си задавам въпроса, при какви стойности на х изразът от ляво ще е 1.
1) при степента равна на 0; [tex]x^2-1=0;;;x=\pm 1[/tex]
2) при [tex]x^2+x-1=1;;x_1=-2[/tex] и [tex]x_2=1[/tex]

[MasterZ]

б) равенството е изпълнено:
1)когато основите са равни на 1, х=-1
2)когато степените са равни (понеже основите са равни)
[tex]2x^2+2x-4=0[/tex] делим на 2 и решаваме елементарното квадратно ур. [tex]x_1=-2;;x_2=1[/tex]
3) х=-3 също е решение, защото -1 повдигнато на четна степен е 1

[MasterZ]

в) е аналогично на б)

[mp3]

в)
[*]
х > 0, защото х е основа на степен с произволен реален показател;
[tex]x - 1\ge 0[/tex], защото изразът е под корен;
следователно ДС [tex]x \ge 1[/tex]
В уравнението има равни степени и равни основи, следователно равни са и степенните показатели:
[tex]\sqrt{x-1} = x-3[/tex],
ДС за ирационалното уравнение х -1 [tex]\ge[/tex] 0, х -3 [tex]\ge[/tex]0, т.е ДС х [tex]\ge[/tex] 3
От друга страна решаваното уравнение е с ДС [tex]x \ge 1[/tex]. Следователно решаваме при ДС х [tex]\ge[/tex] 3
След повдигане на втора степен се получава квадратно уравнение с корени [tex]x_{1 } = 2, x_{2 } = 5.[/tex].
[tex]x_{1 } = 2 \notin[/tex] ДС, следователно не е решение на изходното уравнение.
Решение на даденото уравнение е Х=5.

[MasterZ]

в)
х > 0, защото х е основа на степен с произволен реален показател;
х - 1 > 0, защото изразът е под корен;

Припомням, че подкоренната величина може да е по-голяма или равна на 0.
Следователно и х=1 е решение. Освен това първия ред не е верен.

[preslava123]

Благодаря ви !

[mp3]

в)
х > 0, защото х е основа на степен с произволен реален показател;
х - 1 > 0, защото изразът е под корен;

Припомням, че подкоренната величина може да е по-голяма или равна на 0.
Следователно и х=1 е решение. Освен това първия ред не е верен.

Първата възможност е равни степенни показатели при положителна основа. От тук идва корен 5.
Втората възможност е при произволна степен и основа 1 не е излязъл при публикуването. Да, тогава излиза корен 1. Никой не спори. Тук по принцип трябва да се види и случая основа -1 и четен показател (за конкретната задача това не е възможно)!
Третата възможност е нулева основа и положителен показател. От тук не излизат корени.

[mp3]

Може да се разсъждава и така:
1) двете страни на б) и в) се разделят на израза от дясната страна, когато не е нула, тогава се получава израз като от а).
Тоест двата случая:
--- основа =1;
--- ненулева основа и степенен показател 0;
2) да се разгледа допълнително случая когато основата е 0, т.е когато степента е 0.

[stflyfisher]

Уравнения от вида:

[tex]f(x)^{g(x)}=1[/tex]

се решават като се решат системите:

1.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)\ne 0\\g(x)=0 \end{tabular}[/tex]

2.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)=1\\g(x)- e..definirana \end{tabular}[/tex]

3.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)=-1\\g(x)- e..chetno..chislo \end{tabular}[/tex]

Решенията на уравнението са обединение на решенията на системите 1.), 2.) и 3.)

[stflyfisher]

Уравнения от вида:

[tex]f(x)^{\varphi (x)}=f(x)^{g(x)}[/tex]

се решават като се решат системите:

1.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)=0\\g(x)>0\\\varphi (x)>0 \end{tabular}[/tex]

2.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)=1\\g(x)- e..definirana\\\varphi (x)- e..definirana \end{tabular}[/tex]

3.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)=-1\\g(x)..i.. \varphi (x)- sa..ednovremenenno..chetni..chisla \end{tabular}[/tex]

4.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)=-1\\g(x)..i.. \varphi (x)- sa..ednovremenno\\nesykratimi.. obiknovenni..drobi..s..NEcheten..znamenatel,\\na..koito..chislitelite..sa..s..edna..i..syshta.. chetnost \end{tabular}[/tex]

5.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)>0\\ \varphi (x)=g(x)\end{tabular}[/tex]

6.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)<0\\g(x)..i.. \varphi (x)- sa..ednovremenno..celi..chisla \end{tabular}[/tex]

7.)[tex]\begin{tabular}{|l}f(x)<0\\g(x)..i.. \varphi (x)- sa..ednovremenenno..drobnii..chisla..s NEcheten..znamenatel \end{tabular}[/tex]

Решенията на уравнението са обединение на решенията на системите 1.), 2.) ,3.),4),5.),6.) и 7.)

п.п.
1.) В систематите не знам как се пише на кирилица.

2.)При конкретни задачи, някои от системите могат да отпаднат

3.) [tex]f(x)^{\varphi (x)}=f(x)^{g(x)}[/tex] може да сведе до: [tex]f(x)^{[\varphi(x)-g(x)]}=1[/tex], при [tex]f(x)^{g(x)}\ne 0[/tex] или [tex]f(x)^{[g(x)-\varphi(x)]}=1[/tex], при [tex]f(x)^{\varphi (x)}\ne 0[/tex]