Метрични зависимости, трапец

[insight]

Диагоналът на равнобедрен трапец е перпендикулярен на бедрото. Голямата му основа е "а", а сборът от малката основа и бедрото е 3/4а. Да се намери малката му основа.
Задачата е от сборника на К. Коларов под номер 14.45

[Евва]

Нека DH е височина на трапеца ABCD .
Да означим малката основа- b, бедрото-c .
Дадено е,че b+c=[tex]\frac{3a}{4}[/tex] ; c=[tex]\frac{3a-4b}{4}[/tex] (1)

Скрит текст: покажи

Мисля,че са имали педвид-метрични зависимости в правоъгълен триъгълник.

[tex]\triangle[/tex]ABD- прав. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AD^{2}[/tex]=AB.AH т.е. [tex]c^{2}[/tex]=a.[tex]\frac{a-b}{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]a^{2}[/tex]-ab=2[tex]c^{2}[/tex] (2)
Заместваме (1) в (2) и след опростяване получаваме 16[tex]b^{2}[/tex]-16ab+[tex]a^{2}[/tex]=0
b=? k=-8a ,D=64[tex]a^{2}[/tex]-16[tex]a^{2}[/tex]=48[tex]a^{2}[/tex]

[tex]b_{1 }[/tex]=[tex]\frac{(2-\sqrt{3})a}{4}[/tex] и [tex]b_{2 }[/tex]=[tex]\frac{(2+\sqrt{3})a}{4}[/tex][ Връщаме се към (1) ]

[tex]c_{1 }[/tex]=[tex]\frac{(1+\sqrt{3})a}{4}[/tex] [tex]c_{2 }[/tex]=[tex]\frac{(1-\sqrt{3})a}{4}[/tex]<0 [tex]\Rightarrow[/tex] отговор [tex]b_{2 }[/tex]-отпада

Остана отг. b=[tex]\frac{(2-\sqrt{3})a}{4}[/tex]