Гаден квадрат

[prodanov]

Здравейте, ей сега идвам от пробната матура, беше ужасна едната задача и искам да си я проверя, щото дава 15 точки, ама хич не мога да мисля вече.

Даден е квадрат АВСD със страна а, в който точка N е средата на ВС, а М е от страна CD, така че CM:MD=2:1. Диагоналът ВD пресича AN и AM съответно в точките Р и К. Да се намери лицето на петоъгълника КРNCM.

Играчката е с двата подобни триъгълника в квадрата. Лесния начин е да се намери отношението на височините и от там - лицето на малките триъгълничета, но не ми дойде дойде тази идея, а използвах страните и намерих синуса на NAM, след тва лицето PAK, и накрая изразих другото лице. Само където е 7 страници решението.

Колко получихте? Моя отговор май беше 59a^2 върху нещо си.

[inveidar]

Задачата се решава лесно. Първо изрази отношението [tex]\frac{BP}{PD}=\frac{1}{2 }[/tex], т.е можеш да означиш
[tex]BP=x,PD=2x[/tex]. После изразяваш [tex]\frac{DK}{KB }=\frac{1}{3 }[/tex], т.е [tex]DK=y,KB=3y[/tex]. Сега лесно получаваш [tex]4y=3x \Leftrightarrow y=\frac{3}{4 } x[/tex]. Тогава [tex]PK=PD-KD=\frac{5}{4 }x[/tex], откъдето [tex]PK=\frac{5}{12 }BD[/tex]. Тогава [tex]S_{APK}=\frac{5}{12 }S_{ABD}=\frac{5}{ 24} S_{ABCD}[/tex]. Лесно пресмятаме
[tex]S_{AMD}=\frac{1}{6 }S_{ABCD},S_{ABN}=\frac{1}{4 }S_{ABCD}[/tex]. Накрая [tex]S_{KPNCM}=S_{ABCD}-S_{AMD}-S_{ABN}-S_{APK}=S_{ABCD}(1-\frac{1}{ 6}-\frac{1}{ 4}-\frac{5}{24 } )=\frac{9}{24 }a^{2}=\frac{3}{8 }a^{2}[/tex].

[Евва]

Да построим височините К[tex]Н_{1 }[/tex] ,К[tex]Н_{2 }[/tex] ,К[tex]Н_{3 }[/tex] и К[tex]Н_{4 }[/tex] съответно в [tex]\triangle[/tex]KMD ,[tex]\triangle[/tex]ABK ,[tex]\triangle[/tex]BNP ,[tex]\triangle[/tex]APD .
[tex]\triangle[/tex]ABK[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]KMD (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{\frac{a}{3}}[/tex]=[tex]\frac{KH_{2 }}{KH_{1 }}[/tex] ;K[tex]H_{2 }[/tex]=3K[tex]H_{1 }[/tex] и знаем,че К[tex]Н_{1 }[/tex]+К[tex]Н_{2 }[/tex]=а [tex]\Rightarrow[/tex] К[tex]Н_{1 }[/tex]=[tex]\frac{a}{4}[/tex] , К[tex]Н_{2 }[/tex]=[tex]\frac{3a}{4}[/tex] (1)
[tex]\triangle[/tex]APD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]BNP (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{\frac{a}{2}}[/tex]=[tex]\frac{PH_{4 }}{PH_{3 }}[/tex] ; P[tex]H_{4 }[/tex]=2P[tex]H_{3 }[/tex] и знаем,че P[tex]H_{3 }[/tex]+P[tex]H_{4 }[/tex]=a [tex]\Rightarrow[/tex] P[tex]H_{3 }[/tex]=[tex]\frac{a}{3}[/tex] ,P[tex]H_{4 }[/tex]=[tex]\frac{2a}{3}[/tex] (2)

[tex]S_{KPNCM }[/tex]+[tex]S_{KMD }[/tex]+[tex]S_{BNP }[/tex]=[tex]S_{BCD }[/tex] ( виж (1) и (2) )

[tex]S_{KPNCM }[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{a}{3}[/tex].[tex]\frac{a}{4}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{a}{2}[/tex].[tex]\frac{a}{3}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]a^{2}[/tex]

[tex]S_{KPNCM }[/tex]=[tex]\frac{a^{2}}{2}[/tex]-[tex]\frac{a^{2}}{24}[/tex]-[tex]\frac{a^{2}}{12}[/tex]

[tex]S_{KPNCM }[/tex]=[tex]\frac{(12-1-2)a^{2}}{24}[/tex]=[tex]\frac{3}{8}[/tex][tex]a^{2}[/tex]

[ptj]

Има много по-лесно решение

[tex]S_{PDM}:S_{PDA}=\frac{DM.DP.sin(45^\circ)}{2}: \frac{DA.DP.sin(45^\circ)}{2}=DM:DA=1:3 \Rightarrow[/tex]

[tex]S_{DMP}=\frac{1}{4}S_{MDA}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2}.a.\frac{a}{3})=\frac{a^2}{24}[/tex]

аналогично на горното [tex]S_{KBN}=\frac{a^2}{16}[/tex]

[tex]S_{KNCMP}=S_{ABCD}-S_{ABD}-S_{KBN}-S{DPM}=a^2-\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{16}-\frac{a^2}{24}=\frac{3a^2}{8}[/tex]

П.П. Обикновено авторовите решения са не повече от 5-6 реда.