Даден е успоредник АВСD със страни a и b,диагонали d1 и d2.

[preslava123]

Даден е успоредник АВСD със страни a и b,диагонали d1 и d2.Докажете че,ако фи е ъгълът между диагоналите на успоредника то cos от фи e = |a на втора- b на втора|върху произведението на диагоналите d1.d2

Благодаря ви предварително!

[Добромир Глухаров]

Нека т. О е пресечна точка на диагоналите. Прилагаме Косинусова Теорема за [tex]\Delta ABO[/tex] и [tex]\Delta BOC[/tex].

[tex]\Delta ABO:\ AB^2=AO^2+BO^2-2.AO.BO.cos \varphi \ \Rightarrow \ a^2=\(\frac{d_1}{2}\)^2+\(\frac{d_2}{2}\)^2-2.\frac{d_1}{2}.\frac{d_2}{2}.cos \varphi[/tex]

[tex]\Delta BOC:\ BC^2=BO^2+CO^2-2.BO.CO.cos (180^\circ - \varphi) \ \Rightarrow \ b^2=\(\frac{d_2}{2}\)^2+\(\frac{d_1}{2}\)^2-2.\frac{d_2}{2}.\frac{d_1}{2}.cos (180^\circ - \varphi)[/tex]

[tex]a^2-b^2=-\frac{d_1.d_2}{2}.cos \varphi+\frac{d_1.d_2}{2}.cos (180^\circ - \varphi)=-d_1.d_2.cos \varphi[/tex]

[tex]\|a^2-b^2\|=d_1d_2cos \varphi \Rightarrow cos \varphi=\frac{\|a^2-b^2\|}{d_1d_2}[/tex]

[djordanova75@abv.bg]

ако два диагонала на успоредник са 6 и 8, а ъгъл BAD e 45 градуса. Как намирам лицето

[Добромир Глухаров]

Нека т. О е пресечна точка на диагоналите. Прилагаме Косинусова Теорема за [tex]\Delta ABO[/tex] и [tex]\Delta BOC[/tex].

[tex]\Delta ABO:\ AB^2=AO^2+BO^2-2.AO.BO.cos \varphi \ \Rightarrow \ a^2=\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2-2.\frac{d_1}{2}.\frac{d_2}{2}.cos \varphi[/tex]

[tex]\Delta BOC:\ BC^2=BO^2+CO^2-2.BO.CO.cos (180^\circ - \varphi) \ \Rightarrow \ b^2=\left(\frac{d_2}{2}\right)^2+\left(\frac{d_1}{2}\right)^2-2.\frac{d_2}{2}.\frac{d_1}{2}.cos (180^\circ - \varphi)[/tex]

[tex]a^2-b^2=-\frac{d_1.d_2}{2}.cos \varphi+\frac{d_1.d_2}{2}.cos (180^\circ - \varphi)=-d_1.d_2.cos \varphi[/tex]

[tex]\|a^2-b^2\|=d_1d_2cos \varphi \Rightarrow cos \varphi=\frac{\|a^2-b^2\|}{d_1d_2}[/tex]

[Добромир Глухаров]

ако два диагонала на успоредник са 6 и 8, а ъгъл BAD e 45 градуса. Как намирам лицето

$AB=a;\ AD=b$

Косинусова Теорема за $\Delta ABD$ и $\Delta ABC$:

$BD^2=AB^2+AD^2-2AB.AD.cos45^\circ$

$6^2=a^2+b^2-2ab\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2+b^2-\sqrt{2}ab=36\ (1)$

$AC^2=AB^2+BC^2-2AB.BC.cos135^\circ$

$8^2=a^2+b^2-2ab\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$a^2+b^2+\sqrt{2}ab=64\ (2)$

$(2)-(1)->2\sqrt{2}ab=64-36=28$

$ab=7\sqrt{2}$

$S_{ABCD}=AB.AD.sin\angle BAD=absin45^\circ=7\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=7$