Тригонометрично тъждество cos2pi/7+ cos4pi/7 +cos6pi/7=-1/2

[kati]

Да се докаже тъждеството:
cos2π/7 + cos4π/7 +cos6π/7 =-1/2

[strangerforever]

Да се докаже тъждеството:
cos2π/7 + cos4π/7 +cos6π/7 =-1/2

А = cos2π/7 + cos4π/7 +cos6π/7
А.sinπ/7 = cos2π/7. sinπ/7 + cos4π/7.sinπ/7 + cos6π/7.sinπ/7
A.sinπ/7 = 1/2(sin3π/7 - sinπ/7) + 1/2(sin5π/7 - sin3π/7) + 1/2(sinπ - sin5π/7)
A.sinπ/7 = 1/2(sin3π/7 - sinπ/7 + sin5π/7 - sin3π/7 + sinπ - sin5π/7)
A.sinπ/7 = 1/2(sinπ - sinπ/7)
A.sinπ/7 = 1/2(-sinπ/7)
A = -1/2

Когато имаш сбор от функции на ъгли, чиято разлика е еднаква, както в случая, умножаваш със синус от половинката на разликата им, за да може всички без 2 да се съкратят. Понякога не е нужно и има други начини, но това е универсалният подход.

[kati]

Много благодаря!

[Mr.G{}{}Fy]

Може да се реши и така :
[tex]cos2pi/7 + cos4pi/7 +cos6pi/7=[/tex]
[tex]=2cos2pi/7.cos4pi/7 + cos4pi/7=[/tex]
[tex]=2cos2pi/7.cos4pi/7 + 2cos^2(cos2pi/7) - 1 =[/tex]
[tex]=2cos2pi/7(cos4pi/7 + cos2pi/7) - 1 =[/tex]
[tex]=4cos2pi/7.cos3pi/7.cospi/7 - 1=[/tex]
[tex]=(4cos2pi/7.cos3pi/7.cospi/7.sinpi/7)/sinpi/7 - 1=[/tex]
[tex]=(2cos2pi/7.cos3pi/7.sin2pi/7)/sinpi/7 - 1=[/tex]
[tex]=(cos3pi/7.sin4pi/7)sinpi/7 - 1=[/tex]
[tex]=(sin6pi/7)/2sinpi/7 - 1=[/tex]
[tex]=1/2 - 1 = -1/2[/tex]