Намерете дължината на ъглополовящата на най-големия ъгъл.

[lidadi]

Страните на триъгълник са а=2, b=3 и c=4. Намерете дължината на ъглополовящата на най-големия ъгъл.

Следователно най-големият ъгъл е този, който лежи срещу страна c. Но си нямам и идея как да я реша. Помощ!

[dimy93]

има формула за това -ако не я знаеш може да се изкара и със cosова th и свойство на ъглоповящата
Ако пак не се справяш ще ти я докажа
Едит-кратко доказателство на формулата:
Нека триъгълника е ABC и ъглополовящата е CL.
cosова th за BLC => [tex]cos \angle BLC = \frac{BL^2 +CL^2 - CB^2}{2*BL*CL }[/tex]
cosова th за ALC => [tex]cos \angle ALC = \frac{AL^2 +CL^2 - CA^2}{2*AL*CL }[/tex]
,но [tex]\angle BLC = 180^\circ - \angle BLC[/tex] => [tex]cos \angle BLC = - cos \angle ALC[/tex]
=>[tex]\frac{BL^2 +CL^2 - CB^2}{2*BL*CL } + \frac{AL^2 +CL^2 - CA^2}{2*AL*CL }=0|*2*AL*BL*CL>0[/tex]
[tex]AL*BL^2 +AL*CL^2 - AL*CB^2 + BL*AL^2 +BL*CL^2 - BL*CA^2 =0[/tex]
[tex]AL*BL(AL+BL) + CL^2(AL+BL) = AL*CB^2+BL*AC^2|:(AL+BL)=AB[/tex]
[tex]AL*BL + CL^2 = \frac{AL}{AB}*CB^2 + \frac{BL}{AB}*AC^2[/tex]
От свойството на ъглоповящата => [tex]\frac{AL}{BL } = \frac{AC}{BC }|+1[/tex] =>[tex]\frac{AB}{AL } = \frac{AC+BC}{AC }[/tex] .Аналогично [tex]\frac{AB}{BL } = \frac{AC+BC}{BC }[/tex]
Заместваме тук :
[tex]AL*BL + CL^2 = \frac{AL}{AB}*CB^2 + \frac{BL}{AB}*AC^2[/tex] и получаваме:
[tex]AL*BL + CL^2 = \frac{AC}{ AC+BC }*CB^2 +\frac{BC}{AC+BC }*AC^2[/tex]
[tex]AL*BL + CL^2 =\frac{AC*BC}{AC+BC }*(CA+CB)[/tex]
[tex]AL*LB +CL^2 = AC*CB[/tex]
[tex]CL^2 = AC*CB - AL*LB[/tex]
Ако още малко се поразровиш и заместиш AL и BL [tex]\frac{AB}{AL } = \frac{AC+BC}{AC }[/tex] от тук и от [tex]\frac{AB}{BL } = \frac{AC+BC}{BC }[/tex] ще получиш формула само на 3тте страни

[baroveca]

Търси се ъглополвящата към страната с. Нека ъглополовящата е CL.AL=x=>LB=4-x.От свойството на ъглополвящата:AC/BC=AL/BL.От тук намираш х и от там AL и ВL. След това използваш формулата [tex]CL^2=AC.BC-AL.BL[/tex]