Да се докаже за всяко X :)

[donq_math]

Дадено:
f(x) = (20x^2+10x+3) : (3x^2+2x+1)

Да се докаже , че за всяко x принадлежащо на R
5:2 ≤ f(x) ≤ 7

[mp3]

[tex]3x^{2}+2x+1\ne 0[/tex] за всяко х
[tex]f^{'}(x)= \frac{2(x+2)(5x+1)}{ (3x^{2}+2x+1)^{2}}[/tex]
[tex]f^{'}(x)=0[/tex] => [tex]x=-2, x=-\frac{1}{ 5}[/tex]
[tex]f^{'}(x)>0[/tex] => [tex]x \in (-\infty ; -2)\cup (-\frac{1}{ 5}; +\infty)[/tex] => f(x) е растяща функция
[tex]f^{'}(x)<0[/tex] => [tex]x \in (-2;-\frac{1}{ 5})[/tex] => f(x) е намаляваща функция

f(-2) е локален мах, f(-1/5) е локален минимум
[tex]f_{max}=f(-2)=7,f_{min}= f(-\frac{1}{5 } )=\frac{5}{2 }[/tex]

[tex]lim (f(x))=\frac{20}{ 3}[/tex] при х-->[tex]\pm \infty[/tex] и [tex]f_{min}=\frac{5}{ 2} <\frac{20}{ 3} <7=f_{max}[/tex]

Следователно [tex]f_{min}<f<f_{max}[/tex], или [tex]\frac{5}{ 2} <f <7[/tex]