Приложение на тригонометрията в планиметрията

[strangerforever]

През върха на равностранен триъгълник със страна 1 е построена права, която го разделя на два триъгълника. Да се намерят радиусите на окръжностите, вписани във всеки от получените триъгълници, ако е известно, че единият от тези радиуси е два пъти по-голям от другия.

[ganka simeonova]

Следи чертежа. Означаваме [tex]CN=y; AN=x; BN=1-x[/tex]
[tex]AP=\frac{1+x-y}{2 } ; BQ=\frac{2-x-y}{2 }[/tex]-допирателни отсечки в двата триъгълника.
Тогава [tex]\Delta API;\Delta BQJ[/tex] са подобни с коефициент на подобие 1/2=>[tex]\frac{AP}{ BQ} =\frac{1}{2 } =>y=3x[/tex]
Прилагаме кос.т-ма за [tex]\Delta ANC=>9x^2=1+x^2-x=>8x^2+x-1=0=>x=\frac{-1+\sqrt{33} }{16 }[/tex]
[tex]\Delta API=>\frac{r}{ AP} =tg30^\circ =>r=AP.\frac{\sqrt{3} }{ 3} =>r=\frac{1-2x}{ 2} .\frac{\sqrt{3} }{ 3}[/tex]

[baroveca]

А аз бях почнал ес едни дъъълги тригонометр. сметки . синусови теореми... то било кратко..